Osemročné štúdium

OBSAH

     Pri výbere a usporiadaní matematických poznatkov boli rešpektované výchovno-vzdelávacie ciele vyučovania matematiky, súčasný stav a trend vývoja matematických vedných disciplín a ich použiteľnosť v spoločenskej praxi, predchádzajúca matematická príprava žiakov, pedagogicko-psychologické vekové zvláštnosti žiakov a vzťah matematiky k iným vyučovacím predmetom.

     Obsah vyučovania matematiky sa opiera o vedný systém matematiky, ktorý mu poskytuje základ pre matematické vzdelanie, východisko pre objasnenie vybraných faktov a problémov, ktoré matematická veda skúma a rieši.

     Charakteristickou črtou didaktického systému matematiky daného učebnými osnovami je špirálovité usporiadanie obsahu všade tam, kde to náročnosť obsahu vyžaduje. Takýto prístup umožňuje nielen kvantitatívny rast poznatkov, ale aj kvalitatívne obohacovanie žiackych poznatkov, postup od konkrétnych skúseností až po objavenie matematických súvislostí, viet a teórie. Žiak na konci osemročného matematického vzdelávania má dospieť k poznaniu, že intuícia a matematický dôkaz nie je to isté.

     V učebných osnovách je zaradené len základné učivo, ktoré si majú v minimálnom počte hodín (3O) určených učebným plánom pre celé štúdium osvojiť, aj keď na rôznej úrovni, všetci žiaci. Pre prácu so žiakmi, ktorí majú predpoklady osvojiť si matematiku aj v základnom kurze dôkladnejšie, sú niektoré námety na rozšírenie učiva uvedené v hranatých zátvorkách.

     Kritériám výberu obsahu zodpovedá aj jeho usporiadanie. Návrh zaradenia učiva do ročníkov je uvedený v osnovách. Určenie počtu hodín pre jednotlivé tematické celky či témy, prípadne uskutočnenie zmien v navrhnutej štruktúre učiva je v kompetencii učiteľa a riaditeľa školy.

     So zohľadnením materiálnych podmienok školy a triedy, mentálnej úrovne žiakov a požiadaviek na vedomosti a zručnosti, ktoré majú získať po osvojení si základného učiva (uvedené sú ako konkrétne ciele pri jednotlivých tematických celkoch), učiteľ na základe predložených rámcových osnov zostaví vlastné tematické plány. Prerokuje ich v predmetovej komisii matematiky, a kvôli koordinácii vyučovania aj v komisiách pre ostatné prírodovedné predmety, a predloží na schválenie riaditeľovi školy.

Prehľad tematických celkov:

1. Prirodzené čísla. Násobenie a delenie prirodzených čísel

Ciele
- vedieť zapísať číslo v rozvinutom tvare a poznať rád číslice,
- porovnávať a zaokrúhľovať prirodzené čísla,
- orientovať sa na číselnej osi,
- násobiť a deliť menšie prirodzené čísla spamäti,
- písomne násobiť prirodzené číslo dvoj a trojciferným prirodze¬ným číslom,
- písomne deliť prirodzené číslo ľubovolným menším dvojciferným [trojciferným] číslom aj so zvyškom a vedieť previesť skúšku správnosti,
- riešiť slovné úlohy na násobenie a delenie.

Obsah
Množina, prvok množiny, podmnožina, nadmnožina, rovnosť množín, zjednotenie, prienik, doplnok. Vlastnosti množinových operácií a relácií a ich súvis s logickými spojkami a operátormi, počet prvkov množiny, Vennove diagramy. [Princíp inklúzie a exklúzie pre n = 2, 3, využitie princípu inklúzie a exklúzie na riešenie slovných úloh.] Dôraz klásť na použitie. Výrok, jednoduchý výrok; pravdivostná hodnota výroku, zložený výrok, základné logické spojky: a, alebo, negácia jednoduchého výroku. Použitie kvantifikátorov aspoň jeden, najviac dva atď. Rozvoj čísla v desiatkovej sústave. Rad číslic. Číselná os. Porovnávanie a zaokrúhľovanie čísel. Písomné násobenie dvojciferným a trojciferným násobiteľom. Písomné delenie dvojciferným [trojciferným] prirodzeným číslom. Kontrola správnosti delenia. Delenie so zvyškom. Riešenie rovníc a nerovníc v obore prirodzených čísel. Riešenie slovných úloh na násobenie a delenie a úloh o vlastnostiach prirodzených čísel.

2. Uhol a jeho veľkosť, operácie s uhlami.

Ciele.
- vedieť popísať uhol a udať príklady uhla v rôznych reálnych situáciách,
- odmerať veľkosť narysovaného uhla v stupňoch a narysovať uhol danej veľkosti,
- rozlíšiť a pomenovať jednotlivé druhy uhlov: ostrý uhol, tupý uhol, priamy uhol, vrcholový uhol, pravý uhol, vedľajšie, striedavé a súhlasné uhly, vnútorný uhol, vonkajší uhol,
- prenášať uhol,
- zostrojiť os uhla,
- porovnať uhly,
- sčitovať a odčitovať uhly (graficky) a ich veľkosti v stupňoch,
- narysovať a popísať mnohouholník (pravidelný, šesťuholník a osemuholník),
- riešiť numerické aj grafické úlohy súvisiace s uhlami.

Obsah
Uhol, prenášanie uhla, os uhla, konštrukcia osi uhla (kružidlom). Meranie veľkosti uhla, jednotka stupeň, uhlomer. Priamy, pravý, ostrý, tupý uhol, uhol väčší ako priamy, pravouhlý, ostrouhlý, tupouhlý, trojuholník. Vedľajšie a vrcholové, súhlasné a striedavé uhly. Grafické sčitovanie a odcitovanie uhlov a ich veľkosti, násobenie a delenie veľkosti uhla dvoma. Mnohouholníky. Pravidelný šesťuholník, osemuholník. Vnútorný uhol mnohouholníka.

3. Desatinné čísla, počtové výkony s desatinnými číslami

Ciele
- čítať a zapisovať desatinné čísla,
- porovnávať a zaokrúhľovať desatinné čísla,
- pohotovo sčitovať a odčitovať spamäti a písomne desatinné čísla
- riešiť všetky typy slovných úloh na sčítanie a odčítanie, ktoré sa žiaci naučili riešiť v obore prirodzených čísel,
- násobiť desatinné čísla,
- deliť menšie prirodzené číslo väčším,
- deliť prirodzené číslo desatinným číslom,
- deliť desatinné číslo desatinným číslom,
- v obore desatinných čísel riešiť všetky typy slovných úloh na násobenie a delenie, ktoré sa žiaci naučili riešiť v obore prirodzených čísel.

Obsah
Zlomky, zlomky s menovateľom rovnajúcim sa mocnine čísla desať, zápis týchto zlomkov desatinným číslom, rad desatinného čísla, porovnávanie desatinných čísel, zaokrúhľovanie desatinných čísel. Sčitovanie desatinných čísel, odcitovanie desatinných čísel, násobenie desatinného čísla 1O, 1OO, 1OOO; delenie 1O, 1OO, 1OOO, premena jednotiek dĺžky a obsahu. Riešenie rovníc a nerovníc v obore desatinných čísel. Slovné úlohy na sčítanie a odčítanie.
Násobenie desatinných čísel, delenie prirodzených čísel v prípade, že delenec je menší ako deliteľ, delenie desatinných čísel. Riešenie rovníc a nerovníc v obore desatinných čísel. Slovné úlohy na násobenie a delenie desatinných čísel. Oboznámenie sa s kalkulačkou, záznam prirodzeného a desatinného čísla na displeji. Počtové výkony s desatinnými číslami na kalkulačke. Riešenie slovných úloh na počtové výkony s desatinnými číslami. Použitie priamej úmernosti v obore desatinných čísel. Výpočet aritmetického priemeru.

4. Obvod a obsah obdĺžnika a štvorca. Povrch kocky a kvádra.

Ciele
- poznať jednotky obsahu a vedieť ich premieňať,
- vypočítať obsah obdĺžnika a štvorca,
- riešiť slovné úlohy na výpočet obsahu obdĺžnika a štvorca,
- vypočítať povrch kocky a kvádra,
- riešiť slovné úlohy na povrch kocky a kvádra

Obsah
Obsah obrazca vo štvorcovej sieti. Jednotky obsahu, premeny jednotiek obsahu. Obsah obdĺžnika a štvorca. Slovné úlohy na výpočet obvodov a obsahov obrazcov zložených zo štvorcov a obdĺžnikov. Povrch kocky a kvádra. Výpočty povrchu kvádra a kocky aj s využitím kalkulačky.

5. Celé číslo, počtové výkony s celými číslami.

Ciele
- poznať význam celého čísla, navzájom opačných celých čísel,
- znázorniť celé čísla na číselnej osi,
- čítať a zapisovať celé čísla,
- usporiadať celé čísla podľa veľkosti a porovnávať celé čísla,
- pohotovo sčitovať a odčitovať celé čísla.

Obsah
Kladné a záporné čísla, navzájom opačné čísla, číselná os, geometrický pohľad na absolútnu hodnotu celého čísla, usporiadanie celých čísel. Sčitovanie a odčitovanie celých čísel, pojem záporného desatinného čísla.

6. Deliteľnosť prirodzených čísel

Ciele
- vedieť znaky deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 9, 1O spamäti a pohotovo používať,
- popísať pojmy násobok, spoločný násobok, najmenší spoločný násobok ,
- popísať pojmy deliteľ, spoločný deliteľ, najväčší spoločný deliteľ,
- vedieť vypočítať ľubovoľný násobok daného čísla, spoločné násobky dvoch čísel, najmenší spoločný násobok dvoch čísel,
- vedieť vypočítať deliteľov daného čísla, spoločných deliteľov dvoch čísel, najväčší spoločný deliteľ dvoch čísel,
- riešiť slovné úlohy s využitím najmenšieho spoločného násobku a najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel.

Obsah
Násobok a deliteľ. Znaky deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 9, 1O. Matematická veta. Prvočísla, zložené čísla, rozklad na prvočinitele. Spoločný deliteľ, spoločný násobok, najväčší spoločný deliteľ (D), najmenší spoločný násobok (n). Algoritmizácia výpočtu najväčšieho spoločného deliteľa a najmenšieho spoločného násobku. Slovné úlohy. [Diofantovské rovnice.]

7. Objem kocky a kvádra

Ciele
- poznať matematický význam pojmu objem,
- vedieť vypočítať objem kocky a kvádra,
- poznať používané jednotky objemu a vedieť ich premieňať,
- riešiť slovné úlohy na výpočet objemu a povrchu kocky a kvádra.

Obsah
Objem telesa, jednotky objemu, premeny jednotiek. Obrazy kvádra a kocky vo voľnom rovnobežnom premietaní. Objem kvádra a kocky. Slovné úlohy na výpočet objemov a povrchov kvádra a kocky. Používanie kalkulačky pri riešení úloh.

8. Osová súmernosť

Ciele
- popísať osovú súmernosť a útvary osové súmerné,
- zostrojiť obraz bodu, úsečky, priamky, trojuholníka, štvoruholníka v osovej súmernosti,
- zistiť o preberaných geometrických útvaroch, či sú alebo nie sú osové súmerné.
- vedieť riešiť základné konštrukčné úlohy s využitím osovej súmernosti.
- skladanie 2 osových súmerností s navzájom kolmými osami.

Obsah
Osová súmernosť, konštrukcia obrazu geometrického útvaru v osovej súmernosti, osové súmerné geometrické útvary. Os úsečky. Konštrukčné úlohy. [Algoritmizácia riešenia konštrukčnej úlohy.] Pokus o definíciu stredovej súmernosti ako výsledku skladania 2 osových súmerností s navzájom kolmými osami.

9. Racionálne čísla. Počtové výkony s racionálnymi číslami.

Ciele
- správne chápať pojem zlomok,
- čítať a zapisovať zlomok, vedieť pomenovať čísla v zlomku,
- znázornenému zlomku (s malým menovateľom) priradiť číslo (zlomok)
- porovnávať zlomky a výsledok porovnania vyznačiť znakmi >,<,=,
- rozširovať a krátiť zlomok,
- upraviť zlomok na základný tvar,
- zapísať zlomok v tvare desatinného čísla a opačne,
- sčitovať a odčitovať zlomky,
- správne chápať pojem racionálne číslo,
- triediť racionálne číslo podľa veľkosti (kladné, záporné, nula)
- znázorniť racionálne čísla na číselnej osi,
- porovnávať racionálne čísla a výsledok porovnania zapísať znak¬mi >,<,=,
- správne chápať pojem zmiešané číslo,
- [zapísať zmiešané číslo v tvare zlomku a opačne],
- násobiť a deliť celé čísla,
- určiť zlomkovú časť celého čísla,
- násobiť zlomok zlomkom,
- násobiť racionálne čísla,
- deliť celé číslo zlomkom,
- deliť zlomok zlomkom,
- deliť racionálne čísla,
- riešiť slovné úlohy na výpočty s racionálnymi číslami.

Obsah
Zlomok. Rovnosť zlomkov, krátenie a rozširovanie zlomkov. Zápis zlomkov pomocou desatinných čísel. Racionálne číslo. Usporiadanie racionálnych čísel.
Sčitovanie a odcitovanie racionálnych čísel. Násobenie a delenie celých čísel. Násobenie a delenie racionálnych čísel. Riešenie rovníc a nerovníc v obore racionálnych čísel. Slovné úlohy na výpočty s racionálnymi číslami.

1O. Trojuholník

Ciele
- určiť v trojuholníku vonkajšie a vnútorné uhly,
- vymenovať základné vlastnosti vnútorných a vonkajších uhlov trojuholníka,
- vedieť popísať rovnoramenný a rovnostranný trojuholník a poznať ich základné vlastnosti,
- definovať strednú priečku trojuholníka a vymenovať jej základné vlastnosti, zostrojiť stredné priečky,
- definovať ťažnicu a ťažisko trojuholníka a vymenovať základné vlastnosti ťažnice, zostrojiť
- ťažnice,
- definovať výšku trojuholníka, vymenovať jej základné vlastnosti a zostrojiť výšky,
- zostrojiť trojuholník z troch strán,
- zostrojiť trojuholník z dvoch strán a z uhla, ktorý tieto strany zvierajú,
- zostrojiť trojuholník z jednej strany a z dvoch priľahlých uhlov ,
- zostrojiť kružnicu trojuholníka opísanú a do trojuholníka vpísanú.

Obsah
Vnútorné a vonkajšie uhly trojuholníka a ich vlastnosti. Rovnoramenný, rovnostranný trojuholník. Výšky trojuholníka. Ťažnice a ťažisko trojuholníka. Stredná priečka. Konštrukcia trojuholníka použitím viet sss, usu, sus. Kružnica opísaná a vpísaná v trojuholníku. [Algoritmizácia riešenia konštrukčných úloh.]

11. Percentá

Ciele
- vedieť vypočítať l percento (1%)
- poznať vzťah medzi desatinným zlomkom (číslom) a percentami
- vedieť rozlíšiť, pomenovať a vypočítať základ, počet percent a hodnotu príslušnú k počtu percent,
- určiť počet percent z kruhového alebo zo stĺpcového diagramu,
- riešiť slovné úlohy na percentá aj z oblasti finančníctva.
- [promile]

Obsah
Percento, základ, percentová časť, počet percent. Základy finančnej matematiky. Použitie stĺpcového a kruhového diagramu. Použitie kalkulačky pri riešení úloh. Slovné úlohy aj s použitím kalkulačky.

12. Rovnobežníky, hranoly

Ciele
- rozlíšiť rovnobežník od ostatných štvoruholníkov,
- vymenovať základné vlastnosti strán, uhlov a uhlopriečok rovnobežníka,
- rozlíšiť kosodlžník a kosoštvorec od ostatných štvoruholníkov,
- zostrojiť obdĺžnik, kosodĺžnik, štvorec a kosoštvorec,
- vypočítať obsah obdĺžnika, kosodlžníka, štvorca a kosoštvorca,
- vypočítať obsah trojuholníka,
- popísať hranol, vymenovať jednotlivé druhy hranolov,
- vypočítať povrch hranola,
- vypočítať objem hranola,
- riešiť úlohy na výpočet obsahu, povrchu a objemu.

Obsah
Rovnobežník, uhlopriečky rovnobežníka, vlastnosti rovnobežníka. Obdĺžnik, kosodlžník, štvorec, kosoštvorec. Konštrukčné úlohy vedúce k zostrojeniu rovnobežníka. Algoritmizácia riešenia konštrukčnej úlohy. Obsah rovnobežníka, trojuholníka, povrch a objem hranola. Slovné úlohy na výpočty obsahov rovnobežníkov, objemov a povrchov hranolov. Použitie kalkulačky pri riešení úloh.

13. Lichobežník

Ciele
- vedieť rozlíšiť lichobežník od ostatných štvoruholníkov,
- pomenovať a rozoznávať jeho základné prvky,
- zostrojiť lichobežník,
- vypočítať obvod a obsah lichobežníka,
- vypočítať základné prvky lichobežníka,
- riešiť slovne sformulované úlohy na výpočet obvodu, obsahu a základných prvkov lichobežníka.

Obsah
Lichobežník, obvod a obsah lichobežníka. Konštrukcia lichobežníka

14. Pomer. Priama a nepriama úmernosť.

Ciele
- správne chápať pojmy pomer, úmera, prevrátený pomer, postupný pomer a vedieť ich aplikovať pri riešení úloh,
- zväčšiť alebo zmenšiť dané číslo v danom pomere,
- riešiť úlohy na delenie čísla v danom pomere,
- vyznačiť body v pravouhlej sústave súradníc v rovine,
- určiť súradnice bodu v pravouhlej sústave súradníc v rovine,
- správne chápať pojem priamej úmernosti, znázorniť priamu úmernosť v pravouhlej sústave súradníc v rovine,
- správne chápať pojem nepriamej úmernosti, znázorniť nepriamu úmernosť v pravouhlej súradnicovej sústave
- riešiť úlohy na priamu úmernosť, včítane úloh z praxe,
- správne chápať pojem nepriamej úmernosti,
- znázorniť nepriamu úmernosť v pravouhlej sústave súradníc v rovine,
- riešiť úlohy na nepriamu úmernosť, včítane úloh z praxe,
- vysvetliť vlastnými slovami pojem trojčlenky,
- riešiť úlohy trojčlenkou,
- vysvetliť vlastnými slovami pojem mierky,
- riešiť úlohy s využitím mierky.

Obsah
Pomer, prevrátený pomer, postupný pomer. Funkcia. Zadanie funkcie. Graf funkcie. Priama úmernosť, graf priamej úmernosti, vlastnosti priamej úmernosti.
Nepriama úmernosť. Graf nepriamej úmernosti, vlastnosti nepriamej úmernosti. Mierka plánov a máp. Riešenie úloh.

15. Premenná, matematizácia, výraz a jeho úpravy

Ciele
- správne chápať premennú,
- vedieť využívať premennú na matematizáciu,
- správne zapísať a vyčísliť číselné výrazy,
- správne zapísať algebraické výrazy a určiť ich hodnotu,
- na základe písaného alebo hovoreného textu správne zapísať číselné výrazy alebo výrazy s premennou a určiť ich hodnotu,
- získať prvé skúsenosti so sčitovaním a odcitovaním výrazov,
- získať prvé skúsenosti s násobením výrazu jednočlenom a vynímaním spoločného činiteľa pred zátvorku,
- získať prvé skúsenosti s delením výrazu jednočlenom.

Obsah
Číselný výraz. Premenná, výraz s premennou, definičný obor výrazu, členy výrazov. Sčitovanie a odcitovanie výrazov, násobenie výrazu jednočlenom, delenie výrazu jednočlenom. Vynímanie pred zátvorku.

16. Zhodnosť. Zhodné zobrazenia.

Ciele
- popísať zhodnosť dvoch rovinných útvarov,
- poznať vety o zhodnosti dvoch trojuholníkov a vedieť ich použiť pri jednoduchých dôkazoch a konštrukciách,
- popísať posúvanie,
- zostrojiť obraz bodu, úsečky, priamky, rovinného útvaru v posúvaní,
- zložiť 2 osové súmernosti s rovnobežnými osami (na príkladoch).

Obsah
Zhodnosť geometrických útvarov, zhodnosť trojuholníkov, vety o zhodnosti trojuholníkov. Zhodné zobrazenia (stredová a osová súmernosť, posúvanie). [Otáčanie. Skladanie zhodných zobrazení.]

17. Mocniny a odmocniny

Ciele
- pochopiť pojem druhej, tretej a ľubovolnej prirodzenej mocniny,
- zapísať ľubovoľnú mocninu čísla alebo výrazu a pomenovať jednotlivé prvky zápisu,
- zapísať druhú a tretiu odmocninu čísla alebo výrazu a pomenovať jednotlivé prvky zápisu,
- vypočítať hodnotu druhej a tretej mocniny spamäti (pri malom základe), na kalkulačke, vyhľadať v tabuľke,
- pochopiť pojem druhej a tretej odmocniny,
- vypočítať hodnotu druhej a tretej odmocniny spamäti (malých čísel), na kalkulačke, vyhľadaním v tabuľke,
- vypočítať druhú mocninu súčinu,
- vypočítať druhú odmocninu súčinu nezáporných čísel,
- poznať základné vlastnosti mocniny s prirodzeným mocniteľom,V - zapísať čísla v tvare a.1Oⁿ, kde 1<=a<1O, nєN
- sčitovať a odčitovať mocniny s prirodzeným mocniteľom,
- násobiť a deliť mocniny s rovnakým základom,
- umocniť súčin a podiel,
- umocniť mocninu.

Obsah
Druhá a tretia mocnina a odmocnina. Určenie druhej a tretej mocniny a odmocniny. Intuitívne zavedenie pojmu reálne číslo. Mocniny s prirodzeným mocniteľom, operácie s mocninami s prirodzeným mocniteľom, mocniteľ nula. [Priamy dôkaz.] Zápis čísel typu a.1Oⁿ, kde 1<=a<1O,nєN.

18. Pytagorova veta

Ciele
- vedieť vysvetliť Pytagorovu vetu a zapísať ju pri každom označení trojuholníka,
- použiť Pytagorovu vetu na riešenie úloh súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom, včítane úloh s praktickým námetom.

Obsah
Pytagorova veta, obrátená veta k Pytagorovej vete, použitie Pytagorovej vety v praxi. Slovné úlohy.

19. Výraz a jeho úpravy

Ciele
- sčitovať a odčitovať celistvé výrazy,
- násobiť celistvé výrazy,
- upraviť výraz vynímaním pred zátvorku,
- upraviť výraz pomocou vzorcov (a+b)², (a-b)², a²-b²,
- opísať lomený výraz,
- násobiť lomený výraz celistvým výrazom,
- násobiť lomený výraz lomeným výrazom,
- deliť lomený výraz celistvým výrazom,
- deliť lomený výraz lomeným výrazom.

Obsah
Celistvý výraz, sčitovanie a odcitovanie celistvých výrazov, násobenie celistvých výrazov, úprava výrazu vynímaním, úprava výrazov pomocou vzorcov (a+b)², (a-b)², a²-b². Geometrická interpretácia výrazov (a+b)², (a-b)², a²-b². Lomený výraz. Krátenie a rozširovanie lomených výrazov. Operácie s lomenými výrazmi.

20. Podobnosť. Goniometrické funkcie

Ciele
- vysvetliť podstatu podobnosti dvoch geometrických útvarov,
- vysvetliť vlastnými slovami, čo je to pomer podobnosti,
- použiť vety o podobnosti trojuholníkov na riešenie úloh,
- obvod, obsah a objem podobných útvarov,
- vedieť definovať goniometrické funkcie, sin x, cos x, tg x, pre xє(0⁰, 90⁰) ako pomer strán v pravouhlom trojuholníku,
- vedieť určiť hodnoty goniometrických funkcií v tabuľkách a na kalkulačke,
- použiť goniometrické funkcie pri riešení úloh,
- odvodiť Euklidove vety pomocou podobnosti a dokázať Pytagorovu vetu.

Obsah
Podobnosť geometrických útvarov, pomer podobnosti. Podobnosť trojuholníkov. Použitie podobnosti v praxi. Goniometrické funkcie sin x, cos x, tg x, pre xє(0⁰, 90⁰). Určovanie hodnôt goniometrických funkcií v tabuľkách a na kalkulačke. Použitie goniometrických funkcií.

21. Lineárne rovnice. Sústava lineárnych rovníc

Ciele
- rozhodnúť o dvoch číselných výrazoch, či sú si rovné
- vymenovať a previesť ekvivalentné úpravy rovníc,
- riešiť lineárne rovnice,
- vedieť urobiť skúšku správnosti riešenia rovnice,
- vypočítať neznámu zo vzorca,
- riešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi (aj graficky),
- riešiť slovné úlohy vedúce na rovnice a ich sústavy.

Obsah
Ekvivalentné úpravy lineárnych rovníc, riešenie jednoduchých lineárnych rovníc a lineárnych rovníc s neznámou v menovateli. Riešenie sústav dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi. Riešenie slovných úloh s využitím lineárnych rovníc a ich sústav. Vyjadrenie neznámej zo vzorca.

22. Kruh, kružnica, valec

Ciele
- definovať kružnicu a kruh,
- pomenovať a utvárať základné prvky kružnice a kruhu,
- zostrojiť a zapísať kružnicu a kruh s daným stredom a polomerom,
- vedieť vyznačiť kružnicový oblúk a kruhový výsek,
- určiť vzájomnú polohu kružnice a priamky,
- určiť vzájomnú polohu dvoch kružníc,
- zostrojiť dotyčnicu kružnice v jej danom bode,
- vypočítať obsah kruhu a dĺžku kružnice,
- popísať valec a pomenovať základné prvky valca,v

Obsah
Základné prvky kruhu a kružnice a ich vlastnosti. Vzájomné polohy kružníc a priamok. Konštrukcia dotyčnice. Výpočet dĺžky kružnice a obsahu kruhu. Základné vlastnosti valca. Objem a povrch valca. Slovné úlohy na výpočet objemov a povrchov valca. Používanie kalkulačky pri riešení úloh.

23. Objem, povrch ihlana a kužeľa

Ciele
- pomenovať a ukázať základné prvky ihlana a kužeľa
- vypočítať povrch ihlana a kužeľa
- vypočítať objem ihlana a kužeľa
- vypočítať povrchy a objemy podobných telies,
- riešiť úlohy z praxe na povrch a objem ihlana a kužeľa.

Obsah
Ihlan. Povrch a objem ihlana. Kužeľ. Povrch a objem kužeľa Riešenie úloh z praxe na výpočet základných prvkov povrchu a objemu ihlana a kužeľa.

24. Kombinatorika

Ciele
- vedieť vytvárať kombinácie, variácie, permutácie (poradia) bez opakovania. Vzorce intuitívne.
- ovládať kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu a vedieť ho aplikovať,
- vedieť, čo znamená n! pre n = O, l, 2, . . .
- poznať kombinatorické aj algebraický význam kombinačného čísla, vedieť pohotovo zapísať niekoľko prvých riadkov Pascalovho trojuholníka,
- vedieť využiť vlastnosti kombinačných čísel,
- porovnať koefecienty (a + b)ⁿ, kde n = l, 2, 3, 4, 5 s riadkami zľava/sprava neohraničený interval, množiny bodov daných vlastnostií
- poznať súvislosti medzi logickými spojkami a operátormi množinových operácií (ak - tak, vtedy a len vtedy)
- utvoriť negáciu zloženého a kvantifikovaného výroku
- o daných dvoch tvrdeniach rozhodnúť, v akom sú vzájomnom logickom vzťahu (jedno implikuje druhé, sú logicky ekvivalentné, navzájom sa vylučujú, sú indiferentné).

Obsah
Vedieť pohotovo zapísať niekoľko prvých riadkov Pascalovho trojuholníka a pokúsiť sa sformulovať intuitívne binomickú vetu. Konečná a nekonečná množina. Otvorený, polouzavretý, uzavretý interval, zľava/sprava neohraničený interval, množina bodov daných vlastností. Logické operácie implikácia a ekvivalencia, obmena a obrátenie implikácie [tautológia a kontradikcia] , niektoré logické identity [tautológie, napr. de Morganovo pravidlo, elementárne pojmy a odvodené pojmy, definícia pojmu, nadradený a podradený pojem, axiómy a odvodené tvrdenia, dôkaz matematického tvrdenia a protipríklad.] Výroková forma, obor pravdivosti výrokovej formy, existenčný a všeobecný kvantifikátor.

25. Algebraické výrazy

Ciele
- rozoznať jednotlivé členy a koeficienty mnohočlenov,
- pohotovo vykonávať operácie s mnohočlenmi,
- vedieť rozložiť kvadratický trojčlen,
- pohotovo vykonávať operácie s racionálne lomenými výrazmi,
- definovať absolútnu hodnotu reálneho čísla,
- vedieť upraviť výrazy s jednou premennou a s najviac dvoma absolútnymi hodnotami tak, aby absolútnu hodnotu neobsahovali,
- vedieť upraviť výrazy s odmocninou,
- určiť hodnotu mnohočlena, Pascalovho trojuholníka a pokúsiť sa sformulovať intuitívne binomickú vetu, Hornerova schéma.

Obsah
Mnohočleny, operácie s mnohočlenmi. Algebraický výraz, racionálne lomený výraz, číselná hodnota výrazu, definičný obor a obor hodnôt výrazu. Výrazy s premennou pod odmocninou, výrazy s absolútnou hodnotou.

26. Konštrukčné úlohy

Ciele
- zapísať postup riešenia konštrukčnej úlohy, - vedieť najfrekventovanejšie konštrukcie množín všetkých bodov danej veľkosti,
- poznať Talesovu kružnicu a vedieť ju využívať pri konštrukciách,
- riešiť konštrukčné úlohy s využitím prebraného učiva geometrie.

Obsah
Množiny bodov danej vlastnosti. Talesova kružnica. Jednoduché konštrukčné úlohy. Algoritmizácia riešenia konštrukčnej úlohy. Zápis postupu riešenia konštrukčnej úlohy. Konštrukčná úloha ako úloha s parametrom.

27. Teória čísel

Ciele
- ovládať pojmy prvočíslo, zložené číslo, súdeliteľné a nesúdeliteľné číslo ciferný súčet,
- poznať a vedieť aplikovať pravidlá pre deliteľnosť 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 1O,
- vypočítať prvočíselný rozklad zloženého čísla,
- určiť počet deliteľov prirodzeného čísla,
- ovládať algoritmus určenia najmenšieho spoločného násobku (nsn) a najväčšieho spoločného deliteľa (NSD),
- poznať základné vlastnosti deliteľnosti,
- poznať vzťah medzi nsn a NSD a vedieť ho použiť,
- poznať podstatu priameho a nepriameho dôkazu, dôkaz metódou mat. indukcie.

Obsah
Deliteľnosť prirodzených čísel, prvočíslo, zložené číslo. Počet deliteľov čísla. Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok. Dôkazové úlohy o deliteľnosti. Základné metódy dôkazov: priamy dôkaz, nepriamy dôkaz, dôkaz metódou matematickej indukcie [nutná a postačujúca podmienka.]

28. Základy výrokovej logiky a teórie množín

Ciele
- vedieť udať príklady konečných a nekonečných množín
- poznať reálne čísla, otvorený, polouzavretý, uzavretý interval
- vedieť, z čoho sa skladá sieť valca,
- vypočítať povrch valca,
- vypočítať objem valca,
- riešiť slovné úlohy na výpočet objemu a povrchu valca.

Obsah
Kruh, kružnica, vzájomná poloha kružnice a priamky, vzájomná poloha dvoch kružníc. Obsah kruhu, dĺžka kružnice. Kružnicový oblúk, kruhový výsek. Slovné úlohy vedúce k výpočtu obsahu kruhu a dĺžky kružnice. Valec, objem a povrch valca. Slovné úlohy.

29. Funkcie, rovnice a nerovnice.

Ciele
- vedieť definíciu funkcie,
- rozoznať v slovnom texte funkčnú závislosť a vedieť ju matematicky sformulovať,
- načrtnúť graf danej lineárnej funkcie,
- opísať základné vlastnosti lineárnej funkcie (definičný obor a obor hodnôt, nulový bod, monotónnosť, ohraničenosť)
- vyriešiť sústavu 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi Gaussovou eliminačnou metódou,
- vyriešiť lineárnu rovnicu alebo sústavu lineárnych rovníc s parametrom a vykonať diskusiu o riešiteľnosti a počte riešení,
- riešenie slovnej úlohy lineárnou rovnicou alebo sústavou lineárnych rovníc,
- riešenie rovníc s neznámou v absolútnej hodnote,
- vyriešiť lineárnu nerovnicu alebo sústavu lineárnych nerovníc s jednou neznámou,
- graficky znázorniť množinu riešení danej lineárnej nerovnice alebo sústavy nerovníc s jednou neznámou,
- načrtnúť graf funkcie danej predpisom s absolútnou hodnotou,
- grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc,
- priamka ako graf lineárnej. funkcie, smernicový tvar rovnice priamky.

Obsah
Funkcia, spôsoby určovania funkcií. Graf funkcie. Definičný obor a obor hodnôt funkcie. Rovnosť funkcií. Lineárna funkcia, graf lineárnej funkcie, vlastnosti lineárnej funkcie (monotónnosť, ohraničenosť). Vety o vlastnostiach rovnosti a nerovnosti reálnych čísel. Lineárna nerovnica s jednou neznámou. Sústavy lineárnych nerovníc s jednou neznámou. Lineárne rovnice a nerovnice s dvoma a viacerými neznámymi. Sústava lineárnych rovníc, ekvivalencia sústav, riešenie sústavy, maticový zápis riešenia sústavy rovníc. Lineárne optimalizačné úlohy.

30. Kvadratické funkcie.rovnice. nerovnice

Ciele
- určiť os, vrchol a nulové body danej kvadratickej funkcie a načrtnúť jej graf,
- vyšetriť priebeh kvadratickej funkcie,
- vyriešiť kvadratickú rovnicu pomocou vzorca, pomocou úpravy na štvorec, i graficky,
- rozkladať kvadratický trojčlen na koreňové činitele,
- zostaviť kvadratickú rovnicu s predpísanými koreňmi,
- riešiť kvadratickú nerovnicu pomocou grafu danej kvadratickej funkcie, i algebraicky,
- vyriešiť kvadratickú rovnicu (prípadne nerovnicu) s parametrom a vykonanie diskusie o riešiteľnosti a počte riešení,
- zostaviť kvadratické rovnice alebo nerovnice predstavujúce ma¬tematický model slovnej úlohy.

Obsah
Kvadratická funkcia, graf, definičný obor a obor hodnôt kvadratickej funkcie. Vlastnosti kvadratickej funkcie. Riešenie slovných úloh s využitím kvadratickej rovnice. Riešenie slovných úloh s využitím kvadratickej rovnice. Kvadratické rovnice a nerovnice. Koeficienty kvadratickej rovnice, korene a diskriminant kvadratickej rovnice, koreňové činitele kvadratického trojčlena, úprava na štvorec, vzorec na riešenie kvadratickej rovnice, vzťah koreňov a koeficientov. Kvadratické rovnice (prip. nerovnice) s parametrom. Úlohy vedúce na riešenie kvadratických rovníc alebo nerovníc.

31. Planimetria

Ciele
- rozlíšiť a pomenovať konvexný a nekonvexný uhol a rovinný útvar
- rozlíšiť a pomenovať dvojice styčných, doplnkových a výplnkových uhlov,
- vykonávať klasifikáciu trojuholníkov a štvoruholníkov podľa charakteristických znakov (veľkosti uhlov, strán, rovnobežnosti strán a pod.)
- pohotovo konštruovať najmä pravidelné konvexné mnohouholníky, vedieť vypočítať počet uhlopriečok a súčet vnútorných uhlov,
- poznať všetky vzťahy medzi uhlami a stranami trojuholníka, vety o vnútorných a vonkajších uhloch,
- odvodiť vetu o obvodovom a stredovom uhle v kružnici a vedieť ju použiť pri konštrukciách a výpočtoch. Ako dôsledok tejto vety chápať Talesovu vetu,
- odvodiť Euklidove vety,
- riešiť konštrukcie trojuholníkov, kružníc a ďalších útvarov pomocou množín bodov danej vlastnosti,
- [zostrojiť elipsu, parabolu a hyperbolu],
- odvodiť vzťahy medzi stranami, uhlami a ďalšími prvkami trojuholníka, odvodenie vzorcov pre obsah trojuholníka,
- riešiť trojuholník konštrukčne aj výpočtom,
riešiť aplikované úlohy pomocou trigonometrie,
- zostrojiť obraz útvaru v zhodnom zobrazení danom dvojicami odpovedajúcich si bodov,
- zobraziť útvar v otočení,
- určiť výsledok zloženia dvoch osových súmerností [dvoch zhodných zobrazení], zobraziť útvar v otočení,
- riešiť konštrukčné úlohy pomocou zhodných zobrazení,
- zobraziť bod, úsečku, priamku a ďalšie útvary v rovnoľahlosti,
- nájsť stred rovnoľahlosti dvoch kružníc, spoločné dotyčnice dvoch kružníc,
- riešiť konštrukčné úlohy pomocou rovnoľahlosti,
- využiť podobnosť pri riešení konštrukčných úloh.

Obsah
Konvexné množiny bodov. Vety o vzájomnej polohe bodov a priamok, o uhloch a útvaroch, o stranách a uhloch v trojuholníku. Riešenie konštrukčných úloh. [Definícia elipsy, hyperboly, paraboly a jej zostrojenie.] Zhodné zobrazenia v rovine - stredová a osová súmernosť, posunutie, otočenie. Skladanie zobrazení. Rovnoľahlosť a podobnosť útvarov, vety o podobnosti trojuholníkov, Euklidove vety. Metrické a konštrukčné úlohy riešené s využitím vlastnosti rovnoľahlosti a podobnosti.

32. Goniometrické funkcie a goniometrické rovnice

Ciele
- schopnosť priraďovať uhlom z intervalu od O° do 36O° hodnoty geometrických funkcií a naopak (aj keď je uhol v oblúkovej miere)
- používať grafy goniometrických funkcií, jednotkovú kružnicu pri riešení úloh,
- zručnosť v úpravách jednoduchších goniometrických výrazov,
- zručnosť v kreslení grafov jednoduchých a zložených goniometrických funkcií,
- riešenie goniometrických rovníc s využitím poznatkov o goniometrických funkciách,
- vedieť sformulovať, správne chápať a používať sínusovú a kosínusovú vetu.

Obsah
Veľkosť uhla v oblúkovej miere. Orientovaný uhol. Funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, ich vlastnosti a graf. Zložené funkcie. Grafy goniometrických funkcií typu y = f(ax + b). Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií. Súčtové vzorce. Sínusová a kosínusová veta. Goniometrické rovnice

33. Kombinatorika

Ciele
- riešiť jednoduché kombinatorické úlohy systematickým vypísaním všetkých možností s využitím vhodného organizačného princípu
- riešiť zložitejšie kombinatorické úlohy ich rozložením na jednoduchšie podúlohy využitím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu
- objasniť spôsob vyjadrenia počtu permutácií, variácií a kombinácií pomocou faktoriálov
- vyčísliť hodnotu konkrétneho kombinačného čísla buď priamo z definície, alebo využitím súčtového vzťahu (Pascalovho trojuholníka)
- umocniť algebrický dvojčlen na prirodzenú mocninu n (n =2, 3, 4, 5 ....)

Obsah
Kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu, permutácie (poradia), variácie, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, základné vlastnosti kombinačných čísel a Pascalovho trojuholníka, binomická veta, [kombinácie, variácie a permutácie s opakovaním, Dirichletov princíp]

34. Stereometria

Ciele
- poznať základy voľného rovnobežného premietania,
- určovať vzájomné polohy, zisťovať a odôvodňovať rovnobežnosť, kolmosť priamky na rovinu, kolmosť priamok,
- zobraziť teleso vo voľnom rovnobežnom premietaní,
- určovať a konštruovať prienik priamky a roviny, priesečnice dvoch rovín,
- zobraziť rez telesa rovinou,
- zobraziť prienik priamky a telesa,
- vypočítať dĺžku, vzdialenosť dvoch bodov na pravidelných a kolmých telesách, vzdialenosť bodu od roviny,
- zostrojiť skutočnú veľkosť rezu,
- zohľadniť siete a modely telies,
- určiť odchýlku dvoch priamok,
- určiť odchýlku priamky a roviny konštrukčne aj výpočtom,
- určiť odchýlku dvoch rovín konštrukčne aj výpočtom,
- vypočítať objemy telies.

Obsah
Vzájomná poloha priamok a rovín, incidencia, rovnobežnosť, komplanárnosť a mimobežnosť, kolmosť, vzdialenosti, odchýlky. Rezy kocky, rezy mnohostena. Uhol priamok, priamka kolmá na rovinu. Kolmosť rovín. Vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť rovín a priamok. Uhol dvoch rovín, uhol priamky s rovinou. Teleso (kocka, štvorsten, ihlan, hranol, valec, guľa, kúzel, zrezaný ihlan, zrezaný kužeľ), vlastnosti, metrické úlohy. Pravidelné telesá.

35. Mocniny a mocninové funkcie, rovnice s neznámou v odmocnenci, nerovnice, lineárne lomené funkcie

Ciele
- dokázať základné vety o mocninách s prirodzeným exponentom (napr. indukciou),
- načrtnúť grafy niektorých mocninových funkcií,
- nakresliť graf ľubovoľných lineárne lomených funkcií aj funkcií k nim inverzných,
- zručnosť v úpravách výrazov s mocninami a odmocninami,
- riešiť rovnice a nerovnice s neznámou v odmocnenci
- schopnosť využiť poznatky o mocninách a odmocninách pri riešení rovníc s neznámou v odmocnenci

Obsah
Mocniny s prirodzeným exponentom. Mocninové funkcie s prirodzeným exponentom. Grafy týchto funkcií. Nepriama úmernosť, lineárne lomená funkcia a jej graf. Mocninové funkcie s celočíselným exponentom. Inverzné funkcie. Odmocnina. Mocniny s racionálnym a iracionálnym exponentom. Riešenie rovníc a nerovníc s neznámou v odmocnenci.

36. Exponenciálne a logaritmické funkcie a rovnice

Ciele
- vedieť definovať a poznať základné vlastnosti exponenciálnej funkcie,
- načrtnúť graf exponenciálnej funkcie a logaritmickej funkcie,
- vedieť definovať a správne chápať pojem logaritmu,
- odhadnúť logaritmus daného čísla a naopak odhadnúť číslo, ktorého logaritmus je známy,
- riešiť exponenciálne a logaritmické rovnice a využívať vlast¬nosti exponenciálnych a logaritmických funkcií.

Obsah
Exponenciálne funkcie. Funkcia y=e^x. Inverzná funkcia. Logaritmická funkcia, logaritmus, logaritmus súčinu a mocniny. Zmena základu logaritmu. Dekadický a prirodzený logaritmus. Logaritmické a exponenciálne rovnice. Sústavy exponenciálnych a logaritmických rovníc.

37. Postupnosti

Ciele
- definovať aritmetickú a geometrickú postupnosť, ovládať terminológiu, symboliku, vzorce pre n - tý člen a súčet,
- určovať diferenciu a kvocient,
- rozhodnúť, či daná postupnosť je aritmetická alebo geometrická,
- zistiť monotónnosť,
- určiť limitu (intuitívne),
- určiť postupnosť čiastočných súčtov,
- určiť súčet radu.

ObsahV Postupnosť. Rekurentné určenie postupnosti. Rastúca a klesajúca postupnosť, ohraničená postupnosť. Graf postupnosti. Aritmetická a geometrická postupnosť, charakteristické vlastnosti týchto postupností, vzorce pre a. Nekonečný rad, súčet radu, Nekonečný geometrický rad a jeho súčet.

38. Analytická geometria

Ciele
- rozlišovať vektor a jeho umiestnenie (voľný a viazaný vektor)
- pohotovo geometricky interpretovať súčet vektorov, súčin reálneho čísla a vektora, lineárnu kombináciu vektorov,
- vypočítať súradnice vektora určeného dvojicou bodov,
- vypočítať súradnice súčtu vektora, súčin vektora a reálneho čísla, lineárna kombinácia vektorov,
- vypočítať veľkosť vektora, skalárny súčin vektorov, odchýlku vektorov,
- kolineárnosť a komplanárnosť bodov vyjadriť pomocou vektorov,
- napísať parametrické i všeobecné rovnice priamky aj roviny určených rôznymi podmienkami,
- dokázať, že grafom lineárnej funkcie je priamka,
- dokázať, že grafom kvadratickej funkcie je parabola,
- určiť vzájomnú polohu ľubovolných lineárnych útvarov (aj určovanie priesečníkov a priesečníc),
- odvodiť rovnicu kružnice, poznať posunutý tvar, napísať rovnicu kružnice opísanej danému trojuholníku,
- napísať rovnicu dotyčnice v bode kružnice,
- určiť vzájomnú polohu priamky a kužeľosečky.

Obsah
Karteziánska sústava súradníc. Vzdialenosť dvoch bodov. Vektor, veľkosť vektora. Sčítanie vektorov, násobenie vektora reálnym číslom. Lineárna závislosť a nezávislosť vektorov. Skalárny súčin dvoch vektorov, uhol dvoch vektorov, kolmosť dvoch vektorov. Aplikácia skalárneho súčinu. Rovnice lineárnych geometrických útvarov. Smernicový a všeobecný tvar rovnice priamky. Parametrické vyjadrenie priamky a roviny, rovnice roviny. Vzájomná poloha priamok a rovín. Kolmosť priamok a rovín. Vzdialenosť bodov, priamok a rovín. Uhol dvoch priamok, uhol priamky a roviny, uhol dvoch rovín. Kružnica - definícia, základné polohové a metrické vlastnosti. Vzájomná poloha priamky a kružnice. Rovnice elipsy, paraboly a hyperboly (informatívne). [Elipsa, parabola a hyperbola - definícia, základné polohové a metrické vlastnosti.] [Vektorový súčin a jeho aplikácie.]

39. Úvod do infinitezimálneho počtu

Ciele
- hľadať rovnice dotyčnice polynomickej funkcie,
- určovať okamžitú rýchlosť a extrémne hodnoty v konkrétnych fyzikálnych úlohách,
- chápať zmysel derivácie ako pojem, ktorý opisuje zmenu; určenie priebehu polynomickej funkcie,
- spoznať myšlienku dolných a horných súčtov pri výpočte obsahov a objemov.

Obsah
Smernica dotyčnice, okamžitá rýchlosť, extrémy (konkrétne úlohy), limita, spojitosť a derivácia (intuitívne). Obsahy útvarov ohraničených krivkou a objemy rotačných telies (intuitívne).

40. Štatistika

Ciele
- určiť hodnoty základných štatistických parametrov daného súboru (rozsah, absolútnu a relatívnu početnosť výskytu určitého javu, strednú hodnotu, modus, medián, rozptyl, smerodajnú odchýlku, variačný koeficient)
- ovládať praktický význam uvedených charakteristík štatistického súboru,
- určiť aritmetický, vážený, geometrický a harmonický priemer a vedieť ich vhodne použiť.

Obsah
Štatistický súbor. Početnosť, skupinové rozloženie početnosti Charakteristika štatistického súboru, charakteristiky polohy, charakteristiky variability. Korelačný koeficient.

     Pravdepodobnosť. Teória grafov. Relácie a operácie. Reálne čísla a ich štruktúra. Komplexné čísla. Diferenciálny a integrálny počet. Numerické metódy a riešenie matematických úloh na počítači. Analytická geometria kužeľosečiek. Metódy riešenia matematických úloh. Vybrané aplikácie matematiky. Optimalizačné úlohy.

     Pri minimálnej hodinovej dotácii sa nepredpokladá, že učiteľ bude môcť zaradiť ešte ďalší tematický celok z vyššie uvedeného návrhu. Sú určené predovšetkým pre tie triedy, ktoré budú pracovať so zvýšenou hodinovou dotáciou (za celé štúdium viac ako 30 hodín). Vyučovanie matematiky ako výchovno-vzdelávací proces sa rozvíja na učebnom obsahu danom učebnými osnovami tak, aby sa dosiahli čiastkové ciele uvedené pred tematickými celkami, ale aj ciele určené pre matematické vzdelávanie v osemročnom gymnáziu. Úroveň dosiahnutia týchto cieľov je teda objektívne daná obsahom, jej dosiahnutie má byť detailne premysleným spoločným dielom učiteľa a žiaka v procese vzdelávania, v ktorom žiak vystupuje ako partner učiteľa, ktorý mu pomáha pochopiť, osvojiť a utvrdiť učivo. Učiteľ pri motivácii zavádzaných matematických pojmov a pri riešení praktických úloh a problémov vhodným výberom spôsobu motivácie zavedených pojmov a námetov praktických úloh dbá o uplatnenie zdravotnej a environmentálnej výchovy. Prvoradým úsilím pri vyučovaní matematiky v osemročnom gymnáziu by malo byť, aby žiaci nedostávali hotové poznatky, ale aby sa pod vedením učiteľa sami dopracovali k žiadaným matematickým poznatkom. Túto predstavu podporuje aj špirálovitosť osnovania obsahu. Výsledkom majú byť trvalejšie matematické poznatky, ale aj vytvorenie návykov u žiakov pre zámerné pozorovanie spoločenských a prírodných javov a na formuláciu zistených súvislostí. Oproti doterajšej praxi sa v osnovách nevymedzuje hodinová dotácia na jednotlivé tematické celky. Počet hodín určuje učiteľ podľa kvality triedy. Rovnako do kompetencie učiteľa patrí spôsob organizácie úvodného a záverečného opakovania (v jednom bloku na začiatku školského roka alebo funkčne pred jednotlivými tematickými celkami).

     Na konci ôsmeho ročníka nie je nevyhnutné zaradiť opakovanie preto, lebo ho možno presunúť do voliteľného predmetu seminár z matematiky alebo cvičenia z matematiky. Pre žiakov, ktorí chcú z matematiky maturovať, tak vznikne silná motivácia rozšíriť si štúdium matematiky o ďalšie hodiny. Samotná povinná minimálna hodinová dotácia (3O h za celé štúdium) totiž programovo nemá postačovať na úspešnú prípravu na maturitu.

Štvorročné štúdium

OBSAH

     Úroveň dosiahnutia cieľov vyučovania matematiky na gymnáziu je objektívne podmienená obsahom vyučovania, subjektívne ju určuje predovšetkým osobnosť žiaka a učiteľa.

     Vo vyučovaní matematiky sa postupne spresňujú a prehlbujú množinovo-logické poznatky žiakov v rozsahu potrebnom pre štúdium a ďalšie vyučovanie podľa učebných osnov. Základné pojmy teórie množín a logiky by nemali tvoriť samostatný tematický celok.

     Nové poznatky sa zaradujú postupne, rozvíja sa schopnosť komunikovať aj pomocou formálneho jazyka. Upresňujú a prehlbujú sa vedomosti o obsahu pojmu reálne číslo, o operáciách s reálnymi číslami a ich vlastnostiach. Zaradujú sa poznatky z elementárnej teórie čísel s prihliadnutím na propedeutiku topologickej štruktúry reálnych čísel. Vedomosti zo základnej školy o reláciách rovnosť a nerovnosť sa prehlbujú v niekoľkých tematických celkoch. Riešia sa rozličné typy rovníc a nerovníc, ich sústavy, rovnice a nerovnice s parametrom. Pri riešení rovníc a nerovníc sa kladie dôraz na pochopenie logickej podstaty riešenia, na osvojovanie si jednotlivých algoritmov i na schopnosť získané poznatky aplikovať.

     Výrazné postavenie v obsahu vyučovania majú elementárne funkcie. Dôraz sa kladie na opis reálnych situácií funkciami, na algoritmy a na aplikácie. V jednotlivých tematických celkoch sa rozvíjajú poznatky a intuitívne predstavy o základných matematických pojmoch (napr. zobrazenie, spojitosť, miera, ...) Geometria v rovine a v priestore je zastúpená predovšetkým afinnou a metrickou geometriou. S vyšetrovaním polohových a metrických vlastností sú spojené aj základy vektorovej algebry. Dôraz sa kladie na pochopenie a objasnenie súvislostí lineárnej algebry a geometrie. Pozornosť sa venuje aj základom kombinatoriky, pravdepodobnosti a štatistiky.

     Toto učivo by malo prispieť k formatívnej stránke vyučovania i k rozšíreniu možností aplikácie poznatkov získaných štúdiom na gymnáziu.

     Nepovažujeme za účelné vymedzovať osobitnú hodinovú dotáciu na opakovanie a prehlbovanie učiva ani na začiatku, ani na konci štúdia, nakoľko takéto opakovanie je zvyčajne neefektívne, povrchné a nefunkčné. Omnoho účinnejšie je zopakovať na začiatku každého tematického celku všetko, čo je k nemu potrebné. Opakovanie na záver 4. ročníka je účelné len pre žiakov, ktorí chcú z matematiky maturovať, alebo ktorí budú z matematiky robiť prijímaciu skúšku na vysokú školu, čo však predpokladá aspoň 17 hodinovú dotáciu matematiky na strednej škole. Žiak by mal už na začiatku štúdia na gymnáziu vedieť, že 14 hodinová dotácia programovo nepostačuje na úspešnú prípravu na maturitnú skúšku a že ten, kto chce maturovať z matematiky, si musí buď niektoré časti učiva naštudovať individuálne, alebo musí navštevovať voliteľný predmet seminár z matematiky, či cvičenia z matematiky.

     V uvedenom obsahu sa pri jeho osvojovaní rozvíjajú schopnosti samostatného štúdia žiakov, v primeranej miere sa uplatňuje formalizmus a algoritmizácia, čím sa vytvárajú predpoklady splniť zámery určené cieľmi vyučovania matematiky – utvoriť predpoklady na ďalšie štúdium matematiky na vysokej škole, či vytvoriť predpoklady na aplikovanie získaných matematických vedomostí a zručností.Počty hodín uvedené pri vymenovaní jednotlivých celkov v ročníkoch sú len orientačné, pre učiteľa nezáväzné. V každom ročníku je niekoľko hodín (6, 10, 8, 16) venovaných „rozširujúcemu učivu“. Možno ich využiť buď na posilnenie tematických celkov základného učiva alebo na sprístupnenie odporúčaného rozširujúceho učiva uvedeného v hranatých zátvorkách. V každom ročníku je rezervovaných 8 hodín na písanie, rozbor a opravu písomných prác, ktoré nemusia byt štyri (štvrťročné) a môžu trvať aj dlhšie ako jednu vyučovaciu hodinu.

     Učiteľ (predmetová komisia matematiky) je kompetentný rozhodnúť o pocte hodín pre tematické celky či jednotlivé témy, o prípadných zmenách v navrhnutej štruktúre učiva a jeho zaradenia do ročníkov.

Prehľad tematických celkov, orientačný počet hodín:

1. Úvod do štúdia matematiky

Ciele
- tvoriť výrazy, zapísať slovný text pomocou konštánt, premenných a znakov operácií
- vyčísliť výrazy s reálnymi číslami
- rozširovať, krátiť, sčítať, odčítať, násobiť a deliť algebraické zlomky
- určiť obor definície výrazu a vyčísliť jeho hodnotu pre konkrétne reálne číslo
- určiť pravdivostnú hodnotu jednoduchých a zložených výrokov
- utvoriť negáciu daného výroku
- určiť konečnú množinu danú charakteristickou vlastnosťou prvkov vymenovaním jej prvkov a naopak
- rozhodnúť o dvoch daných množinách, ci sa rovnajú / nerovnajú a či jedna je podmnožinou druhej
- určiť prvky prieniku a zjednotenia daných dvoch množín
- určiť doplnok množiny vzhľadom na základnú množinu
- rozhodnúť o platnosti jednoduchých množinových identít bud pomocou grafického znázornenia (Vennovým diagramom) alebo logickým rozborom (priamo z definícií množinových operácií)
- zapísať úsek na číselnej osi pomocou intervalu
- zapísať zjednotenie a prienik dvoch intervalov ako interval (ak je to možné)

Obsah
Číslo, číslica, konštanta, premenná, prepis slovného textu (matematizácia slovnej úlohy). Výrazy a ich úpravy, hodnota výrazu, obor premennej výrazu a obor definície výrazu. Vyjadrenie neznámej zo vzorca. Algebrické zlomky (racionálne lomené výrazy) a operácie s nimi. Výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý / nepravdivý výrok, hypotéza, jednoduchý / zložený výrok, základné logické spojky (a, alebo, ak – tak, vtedy a len vtedy), negácia výroku. Výroková forma, obor pravdivosti výrokovej formy. Množina, prvky množiny, základné dva spôsoby určovania množín (vymenovaním prvkov a udaním charakteristickej vlastnosti), podmnožina, rovnosť množín, zjednotenie, prienik, doplnok, základné vlastnosti množinových operácií a ich súvis s logickými spojkami a operátormi. Počet prvkov množiny, prázdna / neprázdna množina, disjunktné množiny, konečná / nekonečná množina, Vennove diagramy. Intervaly (otvorený, polouzavretý, uzavretý, neohraničený zľava / sprava) a operácie s nimi.

2. Funkcie, rovnice a nerovnice I

Ciele
- určiť obor definície a obor pravdivosti výrokovej formy
- načrtnúť graf danej lineárnej funkcie
- opísať základné vlastnosti lineárnej funkcie ( definičný obor, obor hodnôt, nulový bod, monotónnosť, ohraničenosť)
- vyriešiť lineárnu rovnicu (nerovnicu) a sústavu lineárnych nerovníc
- graficky znázorniť množinu riešení danej lineárnej nerovnice
- vyriešiť sústavu dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi rôznymi metódami (dosadzovacia, eliminačná, grafická)
- vyriešiť sústavu troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi eliminačnou metódou
- zostaviť lineárnu rovnicu alebo sústavu lineárnych rovníc ako matematický model slovnej úlohy, vyriešiť danú rovnicu (sústavu rovníc), overiť a interpretovať výsledky s ohľadom na pôvodnú slovnú úlohu
- poznať vlastnosti absolútnej hodnoty reálneho čísla
- riešiť lineárne rovnice s neznámou v absolútnej hodnote
- určiť os, vrchol a nulové body grafu danej kvadratickej funkcie a načrtnúť ho
- odvodiť vzorec na riešenie kvadratickej rovnice z úpravy na štvorec
- vyriešiť kvadratickú rovnicu pomocou vzorca aj pomocou úpravy na štvorec
- rozložiť kvadratický trojčlen na koreňové činitele
- zostaviť kvadratickú rovnicu s predpísanými koreňmi
- vyriešiť kvadratickú nerovnicu pomocou grafu príslušnej kvadratickej funkcie
- zostaviť kvadratickú rovnicu (nerovnicu), overiť a interpretovať výsledky s ohľadom na pôvodnú slovnú úlohu
- vyriešiť lineárnu rovnicu alebo sústavu lineárnych rovníc s parametrom a vykonat diskusiu o riešiteľnosti a pocte riešení
- kresliť grafy lineárnych a kvadratických funkcií s absolútnymi hodnotami
- vyriešiť kvadratickú rovnicu s parametrom a vykonať diskusiu o riešitelnosti a počte riešení
- vydeliť polynóm jeho koreňovým činiteľom
- načrtnúť graf lineárnej i kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou

Obsah
Rovnica (ako výroková forma), neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, dôsledková a ekvivalentná úprava, skúška správnosti, nerovnica (ako výroková forma). Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), lineárna funkcia (LF), definičný obor a obor hodnôt LF, graf LF, rastúca / klesajúca LF, konštantná LF, lineárna rovnica (LR), grafické a algebrické riešenie LR, lineárna nerovnica (LN), grafické a algebrické riešenie LN, sústava dvoch LR s dvoma neznámymi, sústava troch LR s tromi neznámymi [Gaussova eliminačná metóda a determinant sústavy pre n = 2, 3], sústava n LN s n neznámymi. LR a ich sústavy s parametrom, úlohy vedúce na riešenie LR alebo ich sústav, rovnice a nerovnice v súčinovom a podielovom tvare. Absolútna hodnota reálneho čísla, jej základné vlastnosti a geometrická interpretácia na číselnej osi, rovnice a nerovnice s neznámou v absolútnej hodnote, funkcia y=|x| , jej graf a základné vlastnosti. Kvadratická funkcia (KF), graf KF – parabola, vrchol a os paraboly, nulové body KF, kvadratická rovnica (KR) a nerovnica (KN), koeficienty KR, korene KR, diskriminant KR, koreňové činitele kvadratického trojčlena, úprava na štvorec, vzorec na riešenie KR, počet koreňov KR a jeho súvis s diskriminantom, vplyv koreňov na tvar koreňových činiteľov, vzťah koreňov a koeficientov KR [Vietove vzťahy]. Súvis KR a najmä KN s grafom príslušnej KF, KR [KN] s parametrom, úlohy vedúce na riešenie KR alebo KN.Polynóm, koeficienty polynómu, stupeň polynómu, hodnota polynómu, rozklad polynómu na súčin polynómov, delenie polynómu lineárnym polynómom, prostá funkcia. [Polynomické funkcie PF, stupeň PF, graf PF, základné vlastnosti PF (definičný obor, obor hodnôt, ohraničenosť, spojitosť, nulové body, monotónnosť, ...), Hornerova schéma]. Párnosť a nepárnosť funkcií.

3. Planimetria I

Ciele
- využívať vzťahy medzi dvojicami uhlov pri výpočtových a konštrukčných úlohách
- klasifikovať trojuholníky a štvoruholníky
- zisťovať zhodnosť trojuholníkov, pomocou zhodnosti odvodiť ďalšie vzťahy
- nájsť konštrukčne ťažisko, priesečník výšok, stred a polomer vpísanej a opísanej kružnice trojuholníka
- využívať jednoduché metrické vzťahy v konštrukčných a výpočtových úlohách
- odvodiť vzťah medzi stredovým a obvodovými uhlami i Talesovu vetu
- počítať veľkosti uhlov pomocou obvodových uhlov
- využívať vetu o stredovom a obvodovom uhle pri riešení geometrických úloh
- zostrojiť množinu všetkých uhlov s rovnakou veľkosťou, ktorých ramená prechádzajú danými bodmi a riešiť konštrukčné úlohy pomocou tejto množiny
- počítať vzdialenosti a uhly v pravidelnom n- uholníku
- určiť, či sú dané trojuholníky podobné
- využívať vzťahy medzi podobnými trojuholníkmi na riešenie geometrických úloh
- odvodiť Euklidove a Pytagorovu vetu, počítať dĺžky i vzdialenosti pomocou týchto viet
- zostrojiť úsečku s dĺžkou vyjadrenou druhou odmocninou prirodzeného čísla
- počítať z daných prvkov ostatné prvky (len u pravouhlých trojuholníkov a trojuholníkov prevediteľných na pravouhlé)
- počítať obsahy a obvody trojuholníkov, štvoruholníkov, pravidelných n- uholníkov, kruhu a jeho častí

Obsah
Základné útvary v rovine, polpriamka, uhol, polrovina, dvojice uhlov, pravý uhol, incidencia, rovnobežnosť, konvexné / nekonvexné útvary, trojuholník, štvoruholníky, konvexné n- uholníky. Množiny bodov danej vlastnosti (os úsečky, os rôznobežiek). Zhodnosť trojuholníkov, vety o zhodnosti trojuholníkov, vzťahy medzi stranami a uhlami, vzťahy medzi vonkajšími a vnútornými uhlami, ťažnica, výška, kružnica opísaná a vpísaná trojuholníku, ťažisko, priesečník výšok, základné polohové vzťahy a jednoduché metrické vzťahy. Kružnica, uhly v kružnici, stredový a obvodový uhol a vzťahy medzi nimi, Talesova veta. Uhly v pravidelnom n- uholníku, [tetivový a dotyčnicový štvoruholník], podobnosť trojuholníkov, vety o podobnosti trojuholníkov, pomer obvodov a pomer obsahov podobných trojuholníkov, Pytagorova a Euklidove vety. Obsahy rovinných útvarov, pravidelných n- uholníkov, štvoruholníkov, častí kruhu.

4. Kombinatorika

Ciele
- riešiť jednoduché kombinatorické úlohy systematickým vypísaním všetkých možností s využitím vhodného organizačného princípu
- riešiť zložitejšie kombinatorické úlohy ich rozložením na jednoduchšie podúlohy využitím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu
- vysvetliť spôsob vyjadrenia poctu permutácií, variácií a kombinácií pomocou faktoriálov
- vyčísliť hodnotu konkrétneho kombinačného čísla bud priamo z definície alebo využitím súčtového vzťahu (Pascalovho trojuholníka)
- umocniť algebrický dvojčlen na n (nєN)

Obsah
Kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu, permutácie (poradia), variácie, karteziánsky súčin dvoch množín, usporiadané dvojice, kombinácie, podmnožiny, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník. Základné vlastnosti kombinačných čísel a Pascalovho trojuholníka. Binomická veta. Variácie [kombinácie, permutácie] s opakovaním.

5. Teória čísel

Ciele
- vypočítať prvočíselný rozklad prirodzeného čísla
- zisťovať deliteľnosť a zvyšky po delení
- vypočítať nsn, NSD
- vytvoriť negáciu kvantifikovaného výroku
- dokazovať tvrdenia o vlastnostiach prirodzených čísel
- vysvetliť podstatu priameho dôkazu, nepriameho dôkazu sporom, nepriameho dôkazu implikácie a dôkazu metódou matematickej indukcie
- rozoznať na konkrétnych číslach konečný a nekonečný desatinný rozvoj reálneho čísla, nekonečný periodický rozvoj, racionálne a iracionálne číslo
- znázorniť reálne číslo na číselnej osi

Obsah
Prirodzené číslo a jeho zápis, [číselné sústavy, binárna sústava, aritmetické operácie v číselných sústavách], deliteľ, násobok, deliteľnosť, znaky deliteľnosti, prvočíslo, zložené číslo, prvočíselný rozklad, [zvyškové triedy, aritmetiky vo zvyškových triedach], najmenší spoločný násobok (nsn), najväčší spoločný deliteľ (NSD) a vzťah medzi nimi, výpočet nsn a NSD, základné vlastnosti deliteľnosti, [diofantovské rovnice, lineárna diofantovská rovnica]. Dôkazové úlohy o deliteľnosti, obmena a obrátenie implikácie, základné metódy dôkazov (priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz metódou matematickej indukcie). Existenčný a všeobecný kvantifikátor. Prirodzené, celé, racionálne a reálne čísla. Zobrazenie množiny reálnych čísel.

1. Funkcie, rovnice a nerovnice II

Ciele
- priradiť uhlom z intervalu (0⁰, 360⁰>hodnoty goniometrických funkcií a naopak (aj keď je uhol v oblúkovej miere)
- používať grafy goniometrických funkcií alebo jednotkovú kružnicu pri riešení úloh
- upravovať jednoduchšie goniometrické výrazy
- kresliť grafy zložených goniometrických funkcií
- riešiť goniometrické rovnice s využitím poznatkov o goniometrických funkciách
- odvodiť súčtové vzorce a vzorce pre polovičný a dvojnásobný uhol
- určiť periódu ľubovoľnej goniometrickej funkcie
- dokázať základné vety o mocninách s prirodzeným exponentom
- načrtnúť grafy niektorých mocninových funkcií
- kresliť grafy ľubovoľných lineárnych lomených funkcií a funkcií k nim inverzných
- upravovať výrazy s mocninami a odmocninami
- riešiť rovnice a nerovnice s neznámou v odmocnenci
- využiť poznatky o mocninách a odmocninách (resp. o príslušných funkciách) pri riešení rovníc s neznámou v odmocnenci
- kresliť grafy exponenciálnych a logaritmických funkcií
- odhadovať logaritmus daného čísla a naopak, odhadovať číslo, ktorého logaritmus je známy
- používať dekadický logaritmus pri zjednodušovaní numerických výpočtov
- riešiť základné exponenciálne a logaritmické rovnice
- využívať vlastnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií (prostosť a monotónnosť)pri riešení exponenciálnych a logaritmických rovníc
- používať metódu substitúcie a zámeny základov pri riešení logaritmických a exponenciálnych rovníc

Obsah
Goniometrické funkcie (GF) ostrého uhla, stupňová a oblúková miera, GF ľubovoľného uhla (na jednotkovej kružnici), GF ako funkcie reálnej premennej a ich základné vlastnosti, grafy základných GF, súmernosti na jednotkovej kružnici ako zdroj objavovania ďalších vlastností GF, periodické funkcie. Súčtové vzorce, polovičný a dvojnásobný uhol [súčty typu sin u + sin v], grafy funkcií tvaru A . sin(ax + b) + B, goniometrické rovnice [nerovnice], metóda substitúcie. Definícia mocniny s prirodzeným exponentom, vety o týchto mocninách, grafy mocninových funkcií, definícia mocniny s celočíselným exponentom, vety o týchto mocninách, nepriama úmernosť, lineárna lomená funkcia, vzťahy medzi grafmi funkcií y= k/x a y=[k/(x-a)]+b, graf ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie (aj s absolútnou hodnotou), určenie asymptot (intuitívne pojem limity v nevlastnom bode), pojem inverznej funkcie, definícia odmocniny, vety o odmocninách, mocniny s racionálnym exponentom, úpravy výrazov s mocninami, riešenie jednoduchých rovníc a nerovníc s neznámou v odmocnenci. Mocniny s iracionálnym a reálnym exponentom, exponenciálne funkcie (definícia, základné vlastnosti, náčrty grafov), číslo e, funkcia y=e^x, vplyv základu na priebeh exponenciálnej funkcie. Logaritmická funkcia ako funkcia inverzná k exponenciálnej, dekadický, [prirodzený] logaritmus, základné vlastnosti logaritmov. Exponenciálne a logaritmické rovnice [nerovnice].

2. Planimetria II

Ciele
- konštruovať trojuholníky, kružnice, útvary pomocou množín bodov danej vlastnosti
- odvodiť vzťahy medzi stranami, uhlami a ďalšími prvkami trojuholníka, odvodiť vzorce pre obsah trojuholníka
- riešiť trojuholník konštrukčne i výpočtom, vypočítať dĺžky strán, ťažníc, výšok, polomeru opísanej a vpísanej kružnice, veľkosti uhlov, obvodu a obsahu
- riešiť aplikované úlohy pomocou trigonometrie
- zostrojiť obraz útvaru v zhodnom zobrazení danom dvojicami odpovedajúcich si bodov
- zobraziť útvar v osovej a stredovej súmernosti, posúvaní, otáčaní
- určiť výsledok zloženia dvoch osových súmerností
- riešiť konštrukčné úlohy pomocou zhodných zobrazení
- zobraziť bod, úsečku, priamku a kružnicu v rovnoľahlosti, zobraziť ľubovoľný útvar v rovnoľahlosti
- nájsť stred rovnoľahlosti dvoch kružníc, spoločné dotyčnice dvoch kružníc
- riešiť konštrukčné úlohy pomocou rovnoľahlosti
- využiť podobnosť pri riešení konštrukčných úloh

Obsah
Množiny bodov danej vlastnosti, kružnica, dotyčnica kružnice. Trojuholník, vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka, sínusová a kosínusová veta, vyjadrenie všetkých prvkov trojuholníka (výška, ťažnica, polomer opísanej a vpísanej kružnice), obsah trojuholníka a vzorce pre jeho výpočet, [Herónov vzorec]. Zobrazenia v rovine, zhodné zobrazenia v rovine, osová súmernosť, skladanie osových súmerností, identita, stredová súmernosť, posúvanie a otáčanie, obraz úsečky, priamky a kružnice v jednotlivých zobrazeniach, samodružné body, samodružné útvary, stred súmernosti útvaru, os súmernosti útvaru, [priame a nepriame zhodnosti ]. Podobné zobrazenia v rovine, rovnoľahlosť, koeficient rovnoľahlosti, rovnoľahlosť kružníc. Konštrukčné úlohy, rozbor, počet riešení, konštrukčné úlohy s parametrom, diskusia].

3. Stereometria I

Ciele
- určovať vzájomnú polohu, zisťovať a odôvodňovať rovnobežnosť, kolmosť priamky na rovinu, kolmosť priamok
- zobraziť teleso vo voľnom rovnobežnom premietaní
- určovať a konštruovať prienik priamky a roviny, priesečnicu dvoch rovín
- zobraziť rez telesa rovinou
- zostrojiť skutočnú veľkosť rezu
- zobraziť prienik priamky a telesa
- počítať vzdialenosti dvoch bodov na pravidelných kolmých telesách i vzdialenosť bodu od roviny
- zhotovovať siete a modely telies

Obsah
Základné útvary v priestore, bod, priamka, rovina, polohové vzťahy, vzájomná poloha dvoch priamok, rovnobežnosť priamok, vzájomná poloha priamky a roviny, dvoch rovín, vzájomná poloha troch rovín. Princíp voľného rovnobežného premietania, invarianty. Kolmosť, priamka kolmá na rovinu (definícia, kritérium), kolmosť rovín. Telesá, hranol, kolmý hranol, ihlan, štvorsten, pravidelné telesá, rotačné telesá (valec, kužeľ, guľa). Prienik telesa a roviny, prienik telesa a priamky, [osová afinita, stredová kolineácia]. Vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť bodu od priamky.

1. Stereometria II

Ciele
- určiť odchýlku dvoch priamok
- určiť odchýlku priamky a roviny konštrukčne i výpočtom
- určiť odchýlku dvoch rovín konštrukčne i výpočtom
- počítanie objemov a povrchov telies
- pri počítaní objemov a povrchov zložitejších telies vedieť teleso vhodne rezať či doplniť, využívať zhodnosť telies, vlastnosti objemu, vhodnú voľbu podstáv

Obsah
Odchýlka dvoch priamok, kolmý priemet priamky do roviny, odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, kolmosť rovín. Vlastnosti objemu telies [zhodnosť v priestore], objemy hranatých a rotačných telies, [Cavalieriho princíp], povrchy telies.

2. Analytická geometria

Ciele
- spoznať geometrickú interpretáciu operácií s vektormi
- pochopiť súvislosť medzi priamkou (jej časťami) a grafom lineárnej funkcie
- určovať uhly a vzdialenosti daných útvarov
- určovať rovnice dotyčníc ku kružnici i z bodu mimo kružnice
- pochopiť súvislosť konštrukčnej (syntetickej) a analytickej metódy, ich výhody i nevýhody
- pri riešení geometrickej úlohy spoznať vhodnosť použitia analytickej metódy
- spoznať základné myšlienky analytickej geometrie
- voliť vhodnú súradnicovú sústavu pri riešení úloh

Obsah
Karteziánska sústava súradníc na priamke, v rovine a priestore. Bod a jeho súradnice, stred úsečky a jeho súradnice, vzdialenosť dvoch bodov. Vektor, operácie s vektormi, (sčítanie, odčítanie, násobenie vektora reálnym číslom), lineárne závislé a nezávislé vektory, súradnice vektora, veľkosť vektora, kolineárnosť a komplanárnosť bodov vyjadrená pomocou vektorov. Skalárny súčin vektorov, odchýlka vektorov, kolmosť vektorov. Analytické vyjadrenie priamky v rovine i priestore (parametrické vyjadrenie, všeobecný a smernicový tvar), smerový a normálový vektor priamky, smernica a smerový uhol priamky. Analytické vyjadrenie roviny (parametrické vyjadrenie, všeobecný tvar), normálový vektor roviny. Analytické vyjadrenie úsečky, polpriamky, polroviny a polpriestoru. Geometrický význam koeficientov vo všeobecnej rovnici lineárneho útvaru, vzájomná poloha priamok a rovín, vzdialenosti a odchýlky lineárnych útvarov. [Vektorový a zmiešaný súčin vektorov, obsahy a objemy geometrických tvarov.] Rovnica kružnice (stredový i posunutý tvar), vzájomná poloha kružnice a priamky, dotyčnica kružnice, [guľa a guľová plocha, parabola, elipsa, hyperbola, vzájomná poloha priamky a kužeľosečky, dotyčnice ku kužeľosečkám]. Riešenie geometrických úloh metódami analytickej geometrie, voľba vhodnej sústavy súradníc, transformácia geometrickej úlohy na aritmetický (algebrický) problém a spätná transformácia výsledkov do geometrie.

1. Funkcie, rovnice a nerovnice III

Ciele
- vypísať členy postupnosti, určiť ľubovoľný člen
- zisťovať monotónnosť postupnosti
- určovať limitu postupnosti (intuitívne)
- zistiť, či je postupnosť aritmetická alebo geometrická
- určiť diferenciu, resp. kvocient postupnosti
- určiť postupnosť čiastočných súčtov
- určiť (odhadnúť) súčet nekonečného radu
- hľadanie rovnice dotyčnice ku grafu polynomickej funkcie
- určovanie priebehu polynomickej funkcie (až po načrtnutie grafu)
- vedieť derivovať polynomické funkcie
- chápať zmysel derivácie ako pojem, ktorý opisuje zmenu
- spoznať myšlienku dolných a horných integrálnych súčtov
- spoznať myšlienku aplikácie infinitezimálneho poctu vo fyzike
- zhrnutie a zovšeobecnenie poznatkov o vlastnostiach funkcií

Obsah
Pojem postupnosti, spôsoby určenia (vrátane rekurentného), monotónnosť, ohraničenosť, limita postupnosti (intuitívne), konvergencia, divergencia postupnosti. Aritmetická a geometrická postupnosť, diferencia a kvocient, súčet prvých n členov postupnosti. Nekonečný rad, čiastočný súčet (najmä aritmetického a geometrického radu), súčet geometrického radu (intuitívne), [konvergencia / divergencia radu]. Smernica dotyčnice, okamžitá rýchlosť, hľadanie extrémov (všetko prostredníctvom riešenia konkrétnych úloh), [limita a spojitosť funkcie], derivácia (intuitívne), derivácia polynomických funkcií, súvis monotónnosti funkcie a jej derivácie, [okamžitá rýchlosť, druhá derivácia], približné výpočty obsahov a objemov, [primitívna funkcia, určitý integrál]. Zhrnutie a zovšeobecnenie poznatkov o funkciách a ich vlastnostiach, graf a priebeh funkcie, zložená funkcia.

2. Štatistika a pravdepodobnosť

Ciele
- pre daný štatistický súbor určiť hodnoty základných štatistických parametrov
- výpočet koeficientu korelácie dvoch veličín a štatistická interpretácia vypočítanej hodnoty
- spoznať myšlienku aplikácie štatistických hodnôt v praxi
- spoznať základné myšlienky teórie pravdepodobnosti

Obsah
Súbor, znak, rozsah súboru, absolútna a relatívna početnosť, priemerná hodnota, aritmetický, geometrický, harmonický a vážený priemer, modus, medián, rozptyl, smerodajná odchýlka, variačný koeficient, [štatistické testovanie hypotéz, nulová hypotéza, kritická množina, hladina významnosti, chí-kvadrát test], lineárna korelácia, koeficient korelácie a jeho štatistická interpretácia, [regresná priamka, metóda najmenších štvorcov]. Tabuľka rozdelenia početností, histogram. Náhodný jav, istý jav, nemožný jav, opačný jav, pravdepodobnosť javu. Nezávislé javy a ich pravdepodobnosť. Geometrické pravdepodobnosti. [Podmienená pravdepodobnosť.]

     Stupeň a kvalita dosiahnutia vytýčených cieľov vyučovania matematiky závisí najmä od vyučovacích metód, od postupov odovzdávania poznatkov žiakom, od organizácie vyučovania. Vo vyučovaní matematiky sa v podstate rovnocenne uplatňujú motivačné, expozičné, fixačné a diagnostické metódy.

     Motivačné rozhovory, výzvy, úlohy, aktualizácia obsahu má byt vždy na začiatku a podľa možností aj v priebehu získavania a objavovania nových poznatkov, no i pred kontrolou a pri určovaní domácej úlohy. Pri motivácii sa využíva skutočnosť, že matematické pojmy, operácie, vety a metódy vznikli pri riešení konkrétneho problému, že matematika vychádza predovšetkým zo skúseností a z potrieb riešiť reálne situácie.

     Funkciou expozičných metód je oboznámiť žiakov s novými pojmami, vzťahmi, zákonitosťami, pracovnými postupmi a s nimi spojenými metódami. Najúčinnejšie sú heuristické metódy a to nielen z hľadiska kvality osvojenia si nových poznatkov a zručnosti, ale i z hľadiska formatívneho, pretože rozvíjajú schopnosť samostatne sa vzdelávať.

     Fixačné metódy vedú žiaka od orientačného oboznámenia sa s poznatkami, cez ich reprodukčné ovládanie až k tvorivému zvládnutiu. Nesmie sa však zabúdať na systematické utváranie vzťahov medzi starým a novým učivom, na systematické hľadanie súvislostí medzi jednotlivými tematickými celkami.

     Z hľadiska zisťovania vzdelávacej a výchovnej kvality a efektivity práce učiteľa či žiaka, sú významné diagnostické metódy, ktoré pomáhajú realizovať princíp diferencovaného prístupu, klasifikáciu a ďalšie plánovanie vyučovacieho procesu. Medzi najbežnejšie metódy patrí pozorovanie a písomné skúšanie (testy, domáce úlohy, ročníkové práce, ...).

     Aktivita žiaka pri vyučovaní matematiky nemá byt orientovaná len na úsilie zapamätať si, ale má byt spojená s hľadaním podstaty problému, so samostatným myslením. Vyučovanie má do istej miery kopírovať objaviteľský postup. To si vyžaduje, aby sa učivo, pokiaľ je to možné, predkladalo vo forme problémov a otázok, ktoré majú žiaci riešiť. Pri riešení problémov sa majú žiaci naučiť používať rôzne pramene informácií, prehľady vzorcov, tabuľky, encyklopédie a primeranú odbornú literatúru. Zdôrazňovanie aktivity žiaka, jeho samostatnej práce, odporúčanie heuristických metód však ešte neznamená, že je potrebné zriecť sa metód a foriem typicky vyučovacieho charakteru.