Osemročné štúdium |
Štvorročné štúdium |
|
Vzdelávacie štandardy z matematiky pre gymnáziá by mali patriť medzi základné pedagogické dokumenty, slúžiace spolu s učebným plánom a učebnými osnovami na riadenie a reguláciu výchovy a vzdelávania v učebnom predmete matematika. Východiskom tvorby štandardov boli učebné osnovy matematiky štvorročného gymnaziálneho štúdia, schválené Ministerstvom školstva Slovenskej republiky 24. februára 1997 pod číslom 1252/96-15 s platnosťou od 1. septembra 1997. Zmyslom vzdelávacích štandardov z matematiky pre 4-ročné gymnáziá je koordinovať v najnutnejšej miere rozsah a úroveň vyučovania tohto predmetu tak, aby sa neobmedzovala osobnosť učiteľa a aby sa neobmedzoval najmä jeho tvorivý prístup k vyučovaniu. Predkladané štandardy sa nezaoberajú metodikou vyučovania ani jeho časovým harmonogramom, či hodinovou dotáciou jednotlivých tematických celkov. Ich úlohou je opísať požadovanú úroveň a rozsah vedomostí a zručností absolventa gymnázia. Štandardy nezohľadňujú progresivitu a vývojové tendencie jednotlivých tematických celkov, snažia sa len dôsledne mapovať súčasný stav vyučovania matematiky. Autori predpokladajú, že vzdelávacie štandardy z matematiky sa budú pravidelne upravovať, pričom základom úprav budú konkrétne skúsenosti zo stredných a vysokých škôl. Predložený materiál vychádza z obsahu 4-ročného štúdia matematiky na
gymnáziu, ktorý zodpovedá 14 hodinovej dotácii a považujeme ho za základný - mal
by ho zvládnuť každý absolvent gymnázia. Okrem úvodu sa tento dokument
horizontálne člení na dvanásť tematických okruhov: V obsahovej časti jednotlivých tematických okruhov štandardu sú vymenované prvky obsahu patriace do základného učiva. Je to tá časť učiva z celého gymnaziálneho štúdia matematiky, ktorá do daného tematického okruhu patrí, a ktorá má byť sprístupnená na každej škole všetkým žiakom. Druhá časť jednotlivých tematických okruhov obsahuje v podobe požiadaviek na vedomosti a zručnosti žiakov tú časť učiva, ktorú si majú osvojiť všetci žiaci, aj keď na kvalitatívne odlišnej úrovni. Tretiu časť tvoria typové úlohy, ktoré by mali byť ukazovateľom hĺbky pochopenia a zvládnutia učiva žiakom. Riešením týchto úloh preukáže žiak mieru zvládnutia základných myšlienok a zručností. Úlohy testujú aj žiakovu schopnosť identifikovať a formulovať matematický problém úlohy, vyžadujú od žiakov samostatný a tvorivý prístup. Autori predpokladajú, že táto časť sa bude permanentne dopĺňať a inovovať. Upozorňujeme, že v tomto vzdelávacom štandarde z matematiky nie sú zachytené tie ciele vyučovania matematiky, ktoré konkretizujú oblasť hodnôt a postojov žiakov, nakoľko ich bezprostredná kontrola je zatiaľ didakticky nevyriešená. Bez splnenia takých cieľov, ako je výchova k logickému mysleniu, k presnej formulácii vlastných myšlienok, k vytrvalosti, sústavnosti, presnosti a podobne, by vyučovanie matematiky nesplnilo ciele, ktoré od nej pri výchove a vzdelávaní žiakov gymnázia očakávame. Učivo matematiky už svojim charakterom neumožňuje vždy jeho presné
zaradenie do jednotlivých tematických okruhov a z tohto dôvodu by boli možné
presuny medzi okruhmi. Istým nedostatkom tohto materiálu sú aj niektoré
deklaratívne, verbálne, či nie celkom korektné formulácie (upraviť, správne
chápať, aktívne ovládať, jednoduché úlohy, ...) a preto ich interpretácia môže
byť subjektívna. |
| 1. VÝROKY A MNOŽINY OBSAH Výrok, pravdivostná hodnota výroku, pravdivý a nepravdivý výrok, hypotéza, jednoduchý a zložený výrok, základné logické spojky (a, alebo, ak-tak, vtedy a len vtedy), negácia výroku. Výroková forma, obor pravdivosti výrokovej formy. Definície a vety. Negácia, obmena a obrátenie implikácie, základné metódy dôkazov (priamy a nepriamy dôkaz). Existenčný a všeobecný kvantifikátor. Množina, prvky množiny, základné dva spôsoby určovania množín (vymenovaním prvkov a udaním charakteristickej vlastnosti), podmnožina, rovnosť množín, zjednotenie, prienik, doplnok, základné vlastnosti množinových operácií a ich súvis s logickými spojkami a operátormi. Počet prvkov množiny, prázdna a neprázdna množina, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina, Vennove diagramy. Intervaly (otvorený, polouzavretý, uzavretý, neohraničený zľava alebo sprava) a operácie s nimi. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 1. 1. Rozoznať, ktoré vety (gramatické) sú výroky 1. 2. Určiť pravdivostnú hodnotu výroku 1. 3. Správne chápať význam logických spojok, určiť pravdivostnú hodnotu konjunkcie, alternatívy, implikácie a ekvivalencie dvoch výrokov 1. 4. Utvoriť negáciu výroku zloženého z dvoch výrokov 1. 5. Správne chápať výroky, ktoré obsahujú slová každý, žiadny, aspoň, práve, najviac a tvoriť ich negácie 1. 6. Utvoriť k danej implikácii jej obmenu, negáciu i obrátenú implikáciu 1. 7. Zapísať a určiť množinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou vlastnosťou alebo množinovými operáciami 1. 8. Rozhodnúť, či daný objekt je, alebo nie je prvkom danej množiny 1. 9. Určiť vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť) a znázorniť ich pomocou Vennovych diagramov 1.10. Správne interpretovať množinové operácie zjednotenie, prienik a doplnok 1.11. Určiť zjednotenie a prienik množín i doplnok množiny A vzhľadom na množinu B, ak A je podmnožinou B 1.12. Poznať pojem interval, jeho zápis, ovládať množinové operácie s intervalmi a dokázať ich pohotovo používať 1.13. Rozlišovať a chápať pojmy definícia, axióma, veta |
| 2. VÝRAZY OBSAH Číslo, číslica, konštanta, premenná, znaky operácií, výraz. Prepis slovného textu, tvorenie výrazov. Výrazy s reálnymi číslami, výrazy s konštantami a premennými, hodnota výrazu. Obor premennej a obor definície výrazu. Mnohočlen, koeficient, stupeň a hodnota mnohočlena. Operácie s mnohočlenmi. Mnohočlen, rozklad mnohočlena na súčin a koreňový činiteľ. Výrazy s neznámou v menovateli (algebrické) zlomky, výrazy s mocninami, odmocninami, faktoriálmi a kombinačnými číslami, výrazy s hodnotami logaritmickej funkcie, s hodnotami goniometrických funkcií, výrazy s absolútnou hodnotou. Úpravy výrazov. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 2.1. Tvoriť výrazy, zapísať slovný text pomocou konštánt, premenných a znakov operácií 2.2. Vyjadriť slovami obsah jednoduchého textu zapísaného matematickou symbolikou 2.3. Vyčísliť (upravovať) výrazy s reálnymi číslami 2.4. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu mnohočlen, člen, koeficient a stupeň mnohočlena 2.5. Sčítať, odčítať, násobiť mnohočleny, vydeliť mnohočlen lineárnym dvojčlenom (koreňovým činiteľom) 2.6. Určiť obor definície výrazu a vyčísliť jeho hodnotu pre konkrétne reálne číslo 2.7. Poznať vzorce (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3, využiť ich pri úpravách výrazov 2.8. Upraviť výrazy s mocninami a odmocninami, s faktoriálmi, upraviť výrazy obsahujúce hodnoty funkcií sin x, cos x, tg x, cotg x a log x i výrazy s absolútnou hodnotou |
| 3. TEÓRIA ČÍSEL OBSAH Prirodzené číslo a jeho zápis. Deliteľ, násobok, deliteľnosť, znaky deliteľnosti, prvočíslo, zložené číslo, prvočíselný rozklad, najmenší spoločný násobok, najväčší spoločný deliteľ a vzťah medzi nimi, základné vlastnosti deliteľnosti. Množina prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísel. Základné operácie v jednotlivých číselných oboroch. Zobrazenie množiny reálnych čísel. Mocniny s prirodzeným, celým, racionálnym a reálnym mocniteľom, odmocniny a základné pravidlá počítania s nimi. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 3. 1. Rozoznať pojmy číslo a číslica (cifra) 3. 2. Definovať deliteľnosť prirodzených čísel a overovať deliteľnosť konkrétnych čísel 3. 3. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu prvočíslo, zložené číslo, deliteľ, násobok, súdeliteľné a nesúdeliteľné čísla, ciferný súčet 3. 4. Sformulovať pravidlá deliteľnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 10 3. 5. Aplikovať poznatky o deliteľnosti pri vytváraní prvočíselných rozkladov zložených čísel využívajúc poznatok, že ak sa súčin deliteľov p1, p2 prirodzeného čísla n rovná tomuto číslu, tak aspoň jeden z deliteľov p1, p2 ≤ √n 3. 6. Určiť najmenší spoločný násobok a najväčší spoločný deliteľ prirodzených čísel 3. 7. Rozoznať na konkrétnych číslach konečný a nekonečný desatinný rozvoj reálneho čísla, nekonečný periodický rozvoj, racionálne a iracionálne číslo 3. 8. Znázorniť reálne číslo na číselnej osi 3. 9. Definovať racionálne číslo a zapísať ho aspoň dvoma spôsobmi 3.10. Napísať desatinné číslo v rozvinutom i skrátenom tvare, určiť jeho rád 3.11. Definovať absolútnu hodnotu reálneho čísla a vysvetliť jej geometrický význam 3.12. Definovať mocninu s prirodzeným mocniteľom a dokázať základné pravidlá počítania s týmito mocninami 3.13. Definovať mocninu s celočíselným a racionálnym mocniteľom 3.14. Definovať odmocninu a vysvetliť vzťah medzi mocninami a odmocninami 3.15. Riešiť jednoduché úlohy využívajúce operácie s mocninami s celočíselným, racionálnym i reálnym mocniteľom |
| 4. ROVNICE A NEROVNICE OBSAH Rovnica (ako výroková forma), neznáma, koeficienty, obor rovnice, koreň rovnice, riešenie rovnice (ako postup), množina riešení rovnice, dôsledková a ekvivalentná úprava, skúška správnosti, nerovnica (ako výroková forma). Lineárna rovnica, grafické a algebrické riešenie lineárnej rovnice. Lineárna nerovnica, grafické a algebrické riešenie lineárnej nerovnice. Lineárne rovnice a nerovnice s parametrom. Sústava lineárnych rovníc s 2, 3 a n neznámymi, sústavy lineárnych rovníc s parametrom. Rovnice a nerovnice v súčinovom a podielovom tvare, rovnice a nerovnice s neznámou v absolútnej hodnote. Kvadratická rovnica, riešenie úpravou na štvorec, vzorec na riešenie kvadratickej rovnice. Počet koreňov a jeho súvis s diskriminantom, vplyv koreňov na tvar koreňových činiteľov, vzťah koreňov a koeficientov. Kvadratická nerovnica a jej riešenie. Súvis kvadratickej rovnice a nerovnice s grafom príslušnej kvadratickej funkcie. Kvadratické rovnice s parametrom, rovnice s neznámou v menovateli a odmocnenci. Goniometrické rovnice, základné goniometrické nerovnice. Súvis riešenia goniometrickej rovnice s jednotkovou kružnicou a grafom príslušnej goniometrickej funkcie. Exponenciálne a logaritmické rovnice. Súvis vlastností exponenciálnych a logaritmických funkcií s riešením exponenciálnych a logaritmických rovníc. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 4.1 Všeobecné vedomosti 4.1.1 Ovládať pojmy neznáma, koeficient, obor rovnice, obor nerovnice, množina všetkých koreňov 4.1.2 Vysvetliť, aký je rozdiel medzi dôsledkovou a ekvivalentnou úpravou rovnice a nerovnice 4.1.3 Uplatniť poznatok, že pri dôsledkovej úprave je skúška súčasťou riešenia 4.1.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmu parameter v rovnici a nerovnici, vyriešiť jednoduchú rovnicu a nerovnicu s jedným parametrom, vykonať diskusiu riešenia vzhľadom na parameter 4.1.5 Vykonať rozbor slovnej úlohy vedúcej k rovniciam, nerovniciam a ich sústavám (matematizácia slovnej úlohy), overiť výsledky a interpretovať ich s ohľadom na pôvodnú úlohu 4.1.6 Použiť metódu substitúcie pri riešení rovníc i nerovníc 4.2 Lineárne rovnice, nerovnice 4.2.1 Využiť ekvivalentné úpravy pri vyjadrení neznámej zo vzorca 4.2.2 Využiť ekvivalentné úpravy pri riešení lineárnych rovníc a nerovníc s jednou neznámou 4.2.3 Správne postupovať pri riešení rovníc a nerovníc s neznámou v menovateli 4.2.4 Riešiť jednoduché typy rovníc s neznámou v odmocnenci 4.2.5 Riešiť jednoduché typy rovníc a nerovníc s absolútnou hodnotou 4.2.6 Zapísať riešenie nerovnice pomocou intervalov 4.2.7 Poznať riešenie nerovnice |x-a|<ε 4.2.8 Správne riešiť jednotlivé typy rovníc a nerovníc aj v podmnožinách množiny R 4.2.9 Ilustrovať na príkladoch geometrickú interpretáciu lineárnej nerovnice s 2 neznámymi 4.3 Sústavy lineárnych rovníc a nerovníc 4.3.1 Efektívne riešiť sústavu 2 (3) lineárnych rovníc s 2 (3) neznámymi 4.3.2 Poznať grafické znázornenie sústavy 2 lineárnych rovníc s 2 neznámymi a chápať geometrický význam jej riešenia 4.3.3 Správne riešiť jednoduché typy nerovníc v súčinovom a podielovom tvare 4.3.4 Graficky znázorniť riešenie sústavy lineárnych nerovníc s 2 neznámymi 4.4 Kvadratické rovnice a nerovnice 4.4.1 Efektívne riešiť všetky typy kvadratických rovníc 4.4.2 Poznať a aplikovať vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice 4.4.3 Poznať úlohu diskriminantu kvadratickej rovnice 4.4.4 Rozložiť na súčin kvadratický trojčlen 4.4.5 Poznať a využívať súvis medzi riešením kvadratickej nerovnice a grafom kvadratickej funkcie 4.4.6 Správne riešiť sústavu lineárnej a kvadratickej rovnice s 2 neznámymi 4.5 Goniometrické rovnice a nerovnice 4.5.1 Riešiť základné goniometrické rovnice v R 4.5.2 Vysvetliť postup pri riešení zložitejších goniometrických rovníc, pri riešení aplikovať goniometrické vzorce a vlastnosti goniometrických funkcií 4.5.3 S použitím jednotkovej kružnice alebo grafu funkcie vyriešiť jednoduché goniometrické nerovnice 4.6 Exponenciálne a logaritmické rovnice 4.6.1 Správne riešiť základné exponenciálne a logaritmické rovnice 4.6.2 Aplikovať vlastností exponenciálnych a logaritmických funkcií (prostosť a monotónnosť) pri riešení exponenciálnych a logaritmických rovníc 4.6.3 Vysvetliť riešenie exponenciálnej rovnice pomocou jej logaritmovania |
| 5. FUNKCIE OBSAH Funkčná závislosť, funkcia ako predpis (priradenie), vlastnosti funkcií, zložená funkcia. Lineárna funkcia, obor definície a obor hodnôt, graf, nulový bod. Monotónnosť a ohraničenosť lineárnej funkcie, konštantná funkcia. Funkcia y=|x|, jej graf a základné vlastnosti. Priama úmernosť. Kvadratická funkcia a jej graf (parabola, vrchol a os paraboly), nulové body kvadratickej funkcie, monotónnosť a ohraničenosť. Grafy kvadratickej funkcie s absolútnou hodnotou. Súvis kvadratickej rovnice a nerovnice s grafom príslušnej kvadratickej funkcie. Definícia mocniny s prirodzeným (celočíselným) exponentom, grafy mocninových funkcií. Prostá a inverzná funkcia, definícia odmocniny. Nepriama úmernosť, lineárna lomená funkcia, vzťahy medzi grafmi funkcií y=[k/(x-a)]+b a y=k/x. Graf ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie (aj s absolútnou hodnotou), určenie asymptot (intuitívne pojem limity v nevlastnom bode). Goniometrické funkcie ostrého uhla, goniometrické funkcie ľubovoľného uhla (na jednotkovej kružnici). Grafy a základné vlastnosti goniometrických funkcií, ich periodičnosť. Súmernosti na jednotkovej kružnici ako zdroj objavovania ďalších vlastností týchto funkcií, súčtové vzorce, vzorce pre polovičný a dvojnásobný uhol. Grafy funkcií typu y=a.f(bx+c)+d, grafy funkcií s absolútnymi hodnotami. Inverzné funkcie ku goniometrickým funkciám (intuitívne - hľadanie veľkosti uhla k danej hodnote funkcie). Mocniny s reálnym exponentom, definícia exponenciálnej funkcie, jej základné vlastnosti. Vplyv základu na priebeh exponenciálnej funkcie, graf exponenciálnej funkcie, funkcia y=ex. Logaritmická funkcia ako funkcia inverzná k exponenciálnej, jej vlastnosti. Dekadický a prirodzený logaritmus, základné vlastnosti logaritmov. Používanie dekadických logaritmov pri zjednodušovaní numerických výpočtov. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 5.1 Všeobecné vedomosti 5.1.1 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov funkcia, predpis funkcie, obor definície a obor hodnôt, argument, funkčná hodnota a graf funkcie 5.1.2 Rozoznať v slovnom texte funkčnú závislosť a matematicky ju sformulovať 5.1.3 Určiť (aspoň z grafu funkcie) vlastnosti funkcie (monotónnosť, lokálne extrémy, párnosť a nepárnosť, ohraničenosť, periodičnosť) 5.1.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch princíp vytvorenia inverznej funkcie k prostej funkcii a aplikovať ho na jednoduché funkcie (lineárne, kvadratické, exponenciálne) 5.1.5 Načrtnúť, na základe poznania grafu funkcie y = f(x), grafy funkcií y = – f(x), y = f(x) + k, y = |f(x)|, y = f(x + q), y = f(x + q) + k 5.2 Lineárna funkcia 5.2.1 Definovať lineárnu funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt 5.2.2 Načrtnúť graf funkcie y = kx + q na základe poznania geometrického významu parametrov k, q 5.2.3 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument 5.2.4 Rozhodnúť o monotónnosti lineárnej funkcie podľa hodnoty parametra k 5.2.5 Nájsť predpis lineárnej funkcie, ak sú dané jej body 5.2.6 Zostrojiť graf lineárnej funkcie s absolútnymi hodnotami 5.3 Kvadratická funkcia 5.3.1 Definovať kvadratickú funkciu, poznať jej obor definície a obor hodnôt 5.3.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument 5.3.3 Vysvetliť geometrický význam parametrov a, c v súvislosti s grafmi funkcií y = x2 a y = ax2 + bx + c 5.3.4 Nájsť vrchol a os paraboly, ktorá je grafom kvadratickej funkcie, určiť jej nulové body a načrtnúť ju 5.3.5 Určiť, podľa načrtnutého grafu, obor hodnôt a intervaly monotónnosti 5.3.6 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch súvislosť medzi hodnotou diskriminantu kvadratickej rovnice ax2 + bx + c = 0 a grafom funkcie y = ax2 + bx + c 5.4 Lineárna lomená funkcia 5.4.1 Definovať lineárnu lomenú funkciu, opísať vzťah medzi lineárnou lomenou funkciou a nepriamou úmernosťou 5.4.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument 5.4.3 Určiť obor definície ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie 5.4.4 Určiť nulové body grafu ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie 5.4.5 Určiť asymptoty grafu ľubovoľnej lineárnej lomenej funkcie 5.5 Mocninová funkcia 5.5.1 Definovať mocninovú funkciu (y = xn, nεZ), poznať jej obor definície 5.5.2 Opísať na konkrétnych príkladoch vlastnosti mocninových funkcií s párnym (nepárnym) n 5.5.3 Opísať na konkrétnych príkladoch vlastnosti mocninových funkcií s kladným (záporným) n 5.6 Exponenciálna a logaritmická funkcia 5.6.1 Definovať exponenciálnu funkciu, poznať jej obor definície a obor funkčných hodnôt 5.6.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument 5.6.3 Opísať na konkrétnych príkladoch súvislosť priebehu exponenciálnej funkcie s hodnotou jej základu a, s pomocou význačných bodov načrtnúť jej graf 5.6.4 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch vzájomnú súvislosť exponenciálnej a logaritmickej funkcie ako funkcií navzájom inverzných 5.6.5 Definovať logaritmus a opísať pravidlá logaritmovania súčinu, podielu, mocniny a odmocniny 5.6.6 Aplikovať pravidlá logaritmovania pri logaritmovaní i odlogaritmovaní výrazov 5.7 Goniometrické funkcie 5.7.1 Definovať goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens, poznať ich definičné obory, obory hodnôt, grafy a periódy 5.7.2 Nájsť k danému argumentu funkčnú hodnotu a k danej funkčnej hodnote argument 5.7.3 Načrtnúť graf goniometrickej funkcie tvaru y = a .f (bx + c) + d 5.7.4 Aktívne ovládať vzorce: sin2x + cos2x = 1, tg x.cotg x = 1, sin(x + y) = sin x.cos y + cos x.sin y, cos(x + y) = cos x.cos y - sin x.sin y. |
| 6. TRIGONOMETRIA OBSAH Aplikácia poznatkov o goniometrických funkciách pri odvodzovaní vzťahov medzi stranami, uhlami (sínusová a kosínusová veta), výškami a ťažnicami trojuholníka. Vzťah medzi polomerom kružnice opísanej (vpísanej) trojuholníku a prvkami trojuholníka. Odvodenie vzorcov na výpočet obsahu trojuholníka. Riešenie jednoduchých trigonometrických úloh (z daných prvkov trojuholníka počítať ostatné prvky), aplikácia uvedených poznatkov v rôznych častiach matematiky (napríklad trigonometrické riešenie trojuholníka daného stranami a, c a uhlom b), fyziky i pri riešení jednoduchých (štylizovaných) úloh z praxe (kartografia, geodézia, meteorológia, kozmonautika, ...). POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 6.1. Riešiť pravouhlý trojuholník pomocou goniometrických funkcií ostrého uhla 6.2. Riešiť všeobecný trojuholník pomocou sínusovej a kosínusovej vety 6.3. Vyjadriť pomocou goniometrických funkcií výšky trojuholníka, polomer kružnice trojuholníku vpísanej a opísanej, i obsah trojuholníka 6.4. Aplikovať poznatky o goniometrických funkciách a o vzťahoch medzi prvkami trojuholníka v rôznych častiach matematiky, fyziky i pri riešení jednoduchých praktických trigonometrických úloh |
| 7. POSTUPNOSTI OBSAH Postupnosť, spôsoby jej určenia (vrátane rekurentného). Monotónnosť, ohraničenosť a graf postupnosti, limita postupnosti (intuitívne). Aritmetická a geometrická postupnosť, diferencia a kvocient, súčet prvých n členov postupnosti. Aplikácia poznatkov o postupnostiach pri riešení slovných úloh. Nekonečný rad, čiastočný súčet, nekonečný geometrický rad a jeho súčet (intuitívne). POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 7.1. Charakterizovať na konkrétnych príkladoch obsah pojmu postupnosť a člen postupnosti, konečná a nekonečná postupnosť 7.2. Vysvetliť pomocou konkrétnych príkladov spôsoby určenia postupnosti (vzorcom pre ntý člen i rekurentne) 7.3. Určiť ľubovoľný člen postupnosti a načrtnúť jej graf 7.4. Zistiť experimentálne a dôkazom potvrdiť (v jednoduchých prípadoch) hypotézy o monotónnosti a ohraničenosti daných postupností 7.5. Chápať pojem limita postupnosti a intuitívne rozhodnúť, či postupnosť má alebo nemá limitu 7.6. Rozhodnúť, či daná postupnosť je aritmetická, geometrická alebo iná 7.7. Aktívne ovládať základné vzťahy aritmetickej i geometrickej postupnosti 7.8. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov nekonečný rad a súčet nekonečného radu. V jednoduchých prípadoch určiť postupnosť čiastočných súčtov 7.9. Aplikovať poznatky o postupnostiach v praktických úlohách, poznať najmä aplikáciu geometrickej postupnosti v situáciách s pravidelným rastom či poklesom veličín (úrokovanie, pôžičky, splátky, ...) |
| 8. PLANIMETRIA OBSAH Základné útvary v rovine, polpriamka, uhol, polrovina, dvojice uhlov, pravý uhol, incidencia, rovnobežnosť. Konvexné a nekonvexné útvary, trojuholník, štvoruholníky, konvexné n-uholníky, kružnica. Zhodnosť trojuholníkov, vety o zhodnosti trojuholníkov, vzťahy medzi stranami a uhlami. Ťažnica, výška, kružnica vpísaná a opísaná trojuholníku, ťažisko, priesečník výšok. Základné polohové vzťahy a jednoduché metrické úlohy, uhly v kružnici, stredový, obvodový uhol a vzťahy medzi nimi, Talesova veta. Uhly v pravidelnom n-uholníku, podobnosť trojuholníkov, vety o podobnosti trojuholníkov, pomer obvodov a obsahov podobných trojuholníkov, Euklidove a Pytagorova veta. Obsahy rovinných útvarov, pravidelných n-uholníkov, štvoruholníkov, obvod a obsah kruhu i jeho častí. Množiny bodov danej vlastnosti, kružnica a dotyčnica kružnice. Konštrukčné úlohy, rozbor, počet riešení. Vzťahy medzi stranami a uhlami trojuholníka, vyjadrenie prvkov trojuholníka (výška, ťažnica, polomer opísanej a vpísanej kružnice), obsah trojuholníka a vzorce na jeho výpočet. Zhodné a podobné zobrazenia v rovine (osová a stredová súmernosť, otáčanie, posúvanie, identita, rovnoľahlosť), obraz úsečky, priamky, n-uholníka a kružnice v jednotlivých zobrazeniach, samodružné body a útvary, stred a os súmernosti útvaru. Skladanie osových súmerností. Rovnoľahlosť, rovnoľahlosť kružníc. Konštrukčné úlohy riešené pomocou geometrických zobrazení. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 8.1 Základné vedomosti (pojmy) 8.1. 1 Poznať základné geometrické útvary v rovine (bod, priamka, rovina) a na konkrétnych príkladoch opísať vzťahy medzi nimi 8.1. 2 Definovať geometrické útvary (úsečka, uhol, rovinný pás, trojuholník, štvoruholník, konvexný n-uholník, kružnica, kruh) pomocou množinových operácií alebo pomocou charakteristickej vlastnosti 8.1. 3 Aktívne ovládať pojmy uhol, veľkosť uhla (v stupňovej i oblúkovej miere), orientovaný uhol 8.1. 4 Rozoznať dvojice uhlov (styčné, doplnkové, susedné, striedavé) a tieto poznatky aktívne využívať pri výpočtových úlohách o veľkostiach uhlov 8.1. 5 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov obvodový a stredový uhol, sformulovať vetu o ich vzťahu. 8.1. 6 Interpretovať Talesovu vetu ako dôsledok vety o stredovom a obvodovom uhle 8.1. 7 Rozlíšiť konvexný a nekonvexný geometrický útvar 8.1. 8 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok 8.1. 9 Klasifikovať vzájomnú polohu priamky a kružnice i vzájomnú polohu dvoch kružníc 8.1.10 Klasifikovať trojuholníky 8.1.11 Klasifikovať štvoruholníky 8.1.12 Aktívne ovládať vety o určenosti trojuholníka, vety o stranách a uhloch v trojuholníku, poznať ťažnice, výšky, stredné priečky, kružnicu vpísanú a opísanú trojuholníku, ich definície a vlastnosti 8.1.13 Aktívne ovládať pojmy štvoruholník, rovnobežník (štvorec, kosoštvorec, kosodĺžnik, obdĺžnik), lichobežník, poznať vlastnosti strán, uhlov a uhlopriečok v štvoruholníku 8.1.14 Aktívne ovládať pojmy mnohouholník, počet uhlopriečok, pravidelný n-uholník, súčet vnútorných uhlov 8.1.15 Aktívne ovládať pojmy kružnica, kruh, tetiva, oblúk, odsek, výsek, medzikružie 8.1.16 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov odchýlka dvoch priamok, vzdialenosť bodu od priamky a vzdialenosť dvoch rovnobežiek 8.1.17 Zistiť (vypočítať) obsahy a obvody trojuholníkov, štvoruholníkov, pravidelných nuholníkov, kruhu a jeho častí 8.1.18 Riešiť aplikované úlohy pomocou trigonometrie 8.2 Zobrazenia 8.2.1 Chápať pojem geometrické zobrazenie, definovať podobné a zhodné zobrazenie v rovine 8.2.2 Využívať vety o podobnosti a zhodnosti trojuholníkov pri výpočtoch prvkov geometrických útvarov 8.2.3 Sformulovať Euklidove a Pytagorovu vetu 8.2.4 Vysvetliť pojem súmernosť rovinných útvarov 8.2.5 Určiť stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc 8.3 Konštrukčné úlohy 8.3. 1 Zostrojiť os úsečky, uhla a pásu, os uhlov dvoch rôznobežiek 8.3. 2 Zostrojiť množinu všetkých bodov rovnako vzdialených od danej priamky 8.3. 3 Zostrojiť množinu všetkých stredov kružníc s daným polomerom, ktoré sa dotýkajú danej kružnice 8.3. 4 Zostrojiť úsečku s dĺžkou vyjadrenou druhou odmocninou prirodzeného čísla 8.3. 5 Zostrojiť dotyčnicu kružnice v jej bode i dotyčnicu prechádzajúcu daným bodom 8.3. 6 Zostrojiť množinu vrcholov všetkých uhlov s rovnakou veľkosťou, ktorých ramená prechádzajú danými bodmi 8.3. 7 Aplikovať v konštrukčných úlohách vedomosti o trojuholníku, jeho ťažniciach, ťažisku, výškach, kružnici vpísanej a opísanej 8.3. 8 Zostrojiť v danom zhodnom zobrazení alebo v rovnoľahlosti obraz bodu, priamky, mnohouholníka a kružnice 8.3. 9 Aplikovať v konštrukčných úlohách vedomosti o zhodných a podobných zobrazeniach 8.3.10 Riešiť jednoduché konštrukčné úlohy, zostrojiť trojuholník, rovnobežník, lichobežník a kružnicu použitím množín bodov danej vlastnosti |
| 9. STEREOMETRIA OBSAH Základné útvary v priestore, bod, priamka, rovina, vzájomná poloha dvoch priamok, rovnobežnosť priamok, vzájomná poloha priamky a roviny, dvoch rovín, vzájomná poloha troch rovín. Základy voľného rovnobežného premietania. Kolmosť, priamka kolmá na rovinu, kolmosť rovín. Telesá, hranol, kolmý hranol, ihlan, štvorsten, pravidelné a rotačné telesá (valec, kužeľ, guľa). Vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť bodu od priamky. Odchýlka dvoch priamok, kolmý priemet priamky do roviny, odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, kolmosť rovín. Objemy a povrchy hranatých aj rotačných telies, vlastnosti objemu. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 9.1. Polohové vlastnosti priamok a rovín 9.1.1 Vymenovať základné geometrické útvary v priestore (bod, priamka, rovina) a definovať vzťahy medzi nimi 9.1.2 Aktívne ovládať základné stereometrické vety 9.1.3 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch priamok 9.1.4 Klasifikovať vzájomnú polohu priamky a roviny 9.1.5 Klasifikovať vzájomnú polohu dvoch rovín 9.1.6 Klasifikovať vzájomnú polohu troch rovín 9.1.7 Využiť základné vety stereometrie a poznatky o vzájomnej polohe priamok a rovín pri konštrukcii priesečnice dvoch rovín, priesečníka priamky s rovinou, pri konštrukcii rovinného rezu hranola a ihlana i pri konštrukcii priesečníka priamky a hranola 9.2. Metrické vlastnosti priamok a rovín 9.2.1 Definovať kolmosť priamok a rovín. Rozhodnúť o kolmosti priamok a rovín použitím kritérií o kolmosti 9.2.2 Definovať a na konkrétnych príkladoch demonštrovať obsah pojmov odchýlka dvoch priamok, odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín. Určiť (konštrukčne aj výpočtom) a znázorniť v jednoduchých prípadoch odchýlky priamok a rovín. 9.2.3 Definovať a na konkrétnych príkladoch demonštrovať obsah pojmov vzdialenosť bodu od priamky, vzdialenosť bodu od roviny, vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín. Určiť (konštrukčne aj výpočtom) a v jednoduchých prípadoch aj znázorniť tieto vzdialenosti. 9.2.4 Zostrojiť skutočnú veľkosť rovinného rezu kolmého hranola a pravidelného ihlana 9.3. Mnohosteny a rotačné telesá 9.3.1 Zobraziť jednoduché telesá vo voľnom rovnobežnom premietaní 9.3.2 Charakterizovať základné mnohosteny a rotačné telesá (kocka, kváder, hranol, ihlan, zrezaný ihlan, rotačný valec, kužeľ, zrezaný kužeľ, guľa, guľová plocha a jej časti - odsek, výsek, vrstva, vrchlík, pás) 9.3.3 Zhotoviť siete a modely kocky, kvádra, pravidelného hranola a ihlana, rotačného valca a kužeľa 9.3.4 Vypočítať objem a povrch kocky, kvádra, hranola, ihlana, rotačného valca a kužeľa, zrezaného ihlana a kužeľa, gule a jej častí |
| 10. ANALYTICKÁ GEOMETRIA OBSAH Karteziánska sústava súradníc na priamke, v rovine priestore. Bod a jeho súradnice. Stred úsečky a jeho súradnice, vzdialenosť dvoch bodov (dĺžka úsečky). Definícia vektora, umiestnenie vektora (voľný a viazaný vektor). Grafická interpretácia sčítania a odčítania vektorov, nulový vektor. Násobenie vektora reálnym číslom, lineárna kombinácia vektorov. Kolineárnosť a komplanárnosť bodov vyjadrená pomocou vektorov. Súradnice a veľkosť vektora, odchýlka vektorov a ich skalárny súčin. Analytické vyjadrenie priamky v rovine i priestore (parametrické vyjadrenie, všeobecný a smernicový tvar), smerový a normálový vektor priamky, smernica a smerový uhol priamky. Vzájomná poloha bodu a priamky, vzájomná poloha dvoch priamok, odchýlka priamok, vzdialenosť bodu od priamky (v rovine). Analytické vyjadrenie roviny (parametrické vyjadrenie, všeobecný tvar), normálový vektor roviny. Vzájomná poloha bodu a roviny, priamky a roviny, vzájomná poloha dvoch a troch rovín. Odchýlka priamky a roviny, odchýlka dvoch rovín, vzdialenosť bodu od roviny. Kolmica na rovinu. Analytické vyjadrenie úsečky, polpriamky, polroviny a polpriestoru. Rovnica kružnice (stredový i posunutý tvar). Vzájomná poloha bodu a kružnice, vzájomná poloha priamky a kružnice. Rovnica dotyčnice v ľubovoľnom bode kružnice, rovnica dotyčnice prechádzajúcej bodom mimo kružnice. Riešenie geometrických úloh metódami analytickej geometrie, voľba vhodnej sústavy súradníc, transformácia geometrickej úlohy na aritmetický (algebrický) problém a spätná transformácia výsledkov do geometrie. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 10.1. Vektorová algebra 10.1. 1 Vysvetliť, opísať a na konkrétnom príklade demonštrovať zavedenie súradnicovej sústavy na priamke, v rovine a priestore 10.1. 2 Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov vektor a umiestnenie vektora 10.1. 3 Interpretovať geometricky súčet a rozdiel vektorov, súčin reálneho čísla a vektora, lineárnu kombináciu vektorov 10.1. 4 Vypočítať súradnice vektora určeného dvojicou bodov 10.1. 5 Vypočítať súradnice súčtu a rozdielu vektorov, súčinu vektora a reálneho čísla, lineárnej kombinácie vektorov 10.1. 6 Definovať pojem skalárny súčin vektorov 10.1. 7 Určiť skalárny súčin vektorov 10.1. 8 Určiť odchýlku dvoch vektorov 10.1. 9 Určiť vektor rovnobežný s daným vektorom 10.1.10 Určiť vektor kolmý na daný vektor 10.2. Lineárne útvary 10.2. 1 Vypočítať súradnice stredu úsečky 10.2. 2 Vypočítať vzdialenosť dvoch bodov 10.2. 3 Vysvetliť pojmy smerový uhol priamky, smerový a normálový vektor priamky, normálový vektor roviny 10.2. 4 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie priamky danej dvoma bodmi 10.2. 5 Opísať súvis medzi smernicovým vyjadrením priamky a lineárnou funkciou 10.2. 6 Napísať aspoň jedno analytické vyjadrenie roviny danej tromi bodmi 10.2. 7 Určiť súradnice bodu, ktorý leží (neleží) na danej úsečke, priamke, či v danej rovine 10.2. 8 Zistiť vzájomnú polohu dvoch priamok a určiť ich prienik 10.2. 9 Zistiť vzájomnú polohu priamky a roviny a určiť ich prienik 10.2.10 Zistiť vzájomnú polohu dvoch rovín 10.2.11 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou priamkou je rovnobežná 10.2.12 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú priamku je kolmá 10.2.13 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinou je rovnobežná 10.2.14 Určiť analytické vyjadrenie priamky, ktorá prechádza daným bodom a na danú rovinu je kolmá 10.2.15 Určiť analytické vyjadrenie roviny, ktorá prechádza daným bodom a s danou rovinu je rovnobežná 10.2.16 Vypočítať vzdialenosť bodu od priamky (v rovine) 10.2.17 Vypočítať odchýlku dvoch priamok 10.2.18 Vypočítať odchýlku dvoch rovín 10.2.19 Vypočítať vzdialenosť bodu od roviny 10.2.20 Vypočítať odchýlku priamky od roviny 10.3. Kvadratické útvary 10.3.1 Napísať analytické vyjadrenie kružnice danej stredom a polomerom 10.3.2 Určiť charakteristické prvky kružnice z jej analytického vyjadrenia 10.3.3 Klasifikovať analytickou metódou vzájomnú polohu priamky a kružnice 10.3.4 Určiť rovnicu dotyčnice kružnice v jej ľubovoľnom bode 10.3.5 Určiť rovnicu dotyčnice kružnice prechádzajúcu bodom mimo kružnice 10.3.6 Určiť rovnicu kružnice opísanej danému trojuholníku |
| 11. KOMBINATORIKA OBSAH Kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu, permutácie (poradia), variácie, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník. Základné vlastnosti kombinačných čísel a Pascalovho trojuholníka. Binomická veta. Variácie s opakovaním. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 11.1. Riešiť jednoduché kombinatorické úlohy systematickým vypísaním všetkých možností s využitím vhodného organizačného princípu 11.2. Riešiť zložitejšie kombinatorické úlohy rozložením na jednoduchšie podúlohy využitím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu, či pomocou základných vzorcov pre počet variácií, permutácií a kombinácií 11.3. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov permutácie, variácie (aj s opakovaním) a kombinácie 11.4. Vysvetliť spôsob vyjadrenia počtu permutácií, variácii a kombinácií pomocou faktoriálov 11.5. Vyčísliť hodnotu konkrétneho kombinačného čísla buď priamo z definície alebo pomocou vlastností Pascalovho trojuholníka 11.6. Sformulovať a aktívne ovládať binomickú vetu |
| 12. ŠTATISTIKA A PRAVDEPODOBNOSŤ OBSAH Štatistický súbor, znak, rozsah súboru, absolútna a relatívna početnosť. Priemerná hodnota, aritmetický, geometrický, harmonický a vážený priemer. Modus, medián, rozptyl, smerodajná odchýlka. Tabuľka rozdelenia početnosti, histogram. Jav, pravdepodobnosť javu, náhodný, istý, nemožný a opačný jav. POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI 12.1. Charakterizovať na konkrétnych príkladoch pojmy štatistický súbor, štatistická jednotka a znak. Určiť rozsah daného štatistického súboru 12.2. Vykonať triedenie štatistického súboru podľa daného znaku. Určiť absolútne a relatívne početnosti znakov (tried) a zostaviť tabuľku početnosti. Graficky znázorniť rozdelenie početnosti 12.3. Vypočítať priemer, vážený priemer, modus, medián, rozptyl a smerodajnú odchýlku. Určiť geometrický priemer. 12.4. Vysvetliť na konkrétnych príkladoch obsah pojmov náhodný jav, istý jav, nemožný jav, opačný jav 12.5. Aplikovať základný vzorec na výpočet pravdepodobnosti pre javy, ktorých počet je možné určiť jednoduchým výpočtom alebo kombinatorickou úvahou |
| ...viac na stránke www.statpedu.sk |